Determine se a série converge ou diverge.

v) ∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge. O termo geral da nossa série é dado por:

a n = e n 1 + e 2 n

E sempre que a gente tiver um fatorial ou um expoente desse tipo, a gente pode pensar em utilizar o teste da razão. Isso porque o teste da razão nos diz que se calcularmos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

s e   0 ≤ L < 1     e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e s e   L > 1   o u lim n → ∞ ⁡ a n + 1 / a n = ∞   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e s e   L = 1 ,       e n t ã o   n ã o   s e   p o d e   f a l a r   n a d a

Então, vamos calcular nosso limite e verificar a convergência ou divergência dessa série de acordo com as condições do teste.

Vamos lá!

Passo 2

Já sabemos que a n = e n 1 + e 2 n , então a n + 1 será:

a n + 1 = e n + 1 1 + e 2 ( n + 1 ) = e n + 1 1 + e 2 n + 2

Assim, calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → �� ⁡ e n + 1 1 + e 2 n + 2 e n 1 + e 2 n

= lim n → ∞ ⁡ e n + 1 1 + e 2 n + 2 ∙ 1 + e 2 n e n

Simplificando, temos:

lim n → ∞ ⁡ e n ∙ e ∙ ( 1 + e 2 n ) ( 1 + e 2 n + 2 ) ∙ e n

= lim n → ∞ ⁡ e ( 1 + e 2 n ) ( 1 + e 2 n + 2 ) = ( e + e 2 n + 1 ) ( 1 + e 2 n + 2 )

Dividindo todo mundo por e 2 n + 2 pra fugir da indeterminação:

lim n → ∞ ⁡ ( e e 2 n + 2 + e 2 n + 1 e 2 n + 2 ) ( 1 e 2 n + 2 + e 2 n + 2 e 2 n + 2 ) = lim n → ∞ ⁡ 1 e 2 n + 1 + 1 e 1 e 2 n + 2 + 1

Dessa forma, quando n → ∞ , vamos ter:

= 0 + 1 e 0 + 1 = 1 e

Portanto, lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 e ≈ 0,37 < 1 . Como nosso resultado tá entre 0 e 1 , podemos dizer que nossa série converge, pelo teste da razão.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n v e r g e

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