Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

Questão 1: Escolha uma das sequências a n ∞ n = 1 :

b )   a n = 1 1 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ 4 + 1 3 ⋅ 5 + … + 1 n ⋅ n + 2

Determine o lim n → ∞ ⁡ a n e teste a convergência ou divergência da série

∑ n = 1 ∞ a n

Passo 1

Queremos encontrar a solução do limite...

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ 4 + 1 3 ⋅ 5 + … + 1 n ⋅ n + 2

Veja que podemos escrever essa soma de uma forma mais condensada em forma de um somatório...

1 1 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ 4 + 1 3 ⋅ 5 + … + 1 n ⋅ n + 2 = ∑ n = 1 n 1 n ⋅ n + 2

Logo, o nosso limite fica sendo...

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 n ⋅ n + 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos comparar com a p-série:

b n = 1 n 2

Que sabemos que é convergente.

Veja que:

a n = 1 n ⋅ n + 2 = 1 n 2 + 2 n

Então:

a n < b n

E como a p-série converge, então a nossa série é convergente.

Resposta

lim n → ∞ ⁡ a n = 0         e         ∑ n = 1 ∞ a n   é   c o n v e r g e n t e

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