Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

UFRJ - Cálculo 4 - P1 2012.1 - 2b

Estude a natureza das séries abaixo:

∑ n = 1 ∞ n + 1 - n - 1 n + 2

Passo 1

Oi, galerinha, antes de começar a estudar essa série, eu proponho uma coisinha! É um pouco complicado aplicar o Teste da comparação quando temos muitos termos no numerador, então minha proposta é dar uma mexida na cara dessa função.

Lembra daquele produto notável a + b a - b = a 2 - b 2 ? Usando essa ideia, se a gente multiplicar o numerador por n + 1 + n - 1 conseguimos nos livrar da raiz. Fica assim, olha:

n + 1 - n - 1 n + 2 = ( n + 1 - n - 1 ) n + 2 × n + 1 + n - 1 n + 1 + n - 1 =

= n + 1 2 - n - 1 2 n + 2 n + 1 + n - 1 =

= 2 n + 2 n + 1 + n - 1

Certo, conseguimos nos livrar das raízes no numerador, mas e agora?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos escolher uma série parecida que a gente saiba a convergência para descobrir se a nossa série converge ou diverge.

Eu acho mais simples pensar sem as raízes nos denominador. Deste modo, seria muito interessante se tivéssemos n + 2 n + 2 + n + 2 no denominador, pois as raízes iriam sumir. Repara,

2 n + 2 n + 2 + n + 2 = 2 n + 2 + n + 2 = 1 n + 2

Quando fizemos isso, chegamos a uma série que diverge. Se você ta se perguntando o por quê que ela diverge, dá uma olhada nesse truque, considerando m = n + 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n + 2 = ∑ m - 2 = 1 ∞ 1 m = ∑ m = 3 ∞ 1 m

Ou seja, a série 1 n + 2 diverge porque ela nada mais é do que a série harmônica, só que começando em 3 ! E a harmônica galera, diverge.

Ok, mas em que isso nos ajuda? Olha o seguinte:

2 n + 2 n + 1 + n - 1 > 2 n + 2 n + 2 + n + 2 = 1 n + 2

Ou seja, mostramos, por meio de muitas bruxarias, que a série do problema tem termos maiores que os de uma série que diverge, logo, ela também diverge.

Resposta

A série diverge.

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