Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

Determine quais séries abaixo convergem e quais divergem.

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 1

Passo 1

Repara que o termo geral da nossa série vai ser

a n = 1 n 2 + 1

Se não tivesse aquele + 1 , essa série seria um p - s é r i e com p = 2 , como esse cara é muito parecido vamos usar o teste da comparação no limite para resolver a convergência dessa série

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos comparar essa série com a p - s é r i e com p = 2 . Ou seja,

b n = 1 n 2

Como essa série é convergente, só lembrarmos que uma p - s é r i e com p > 1 é sempre convergente, queremos mostrar que

a n < b n

Vamos para essa empreitada então. Primeiro, precisamos perceber que

n 2 + 1 > n 2

Fizemos isso porque esse é o nosso denominador. Invertendo esses dois caras, vamos ter

1 n 2 + 1 < 1 n 2

Fica ligado que quando invertemos os números, a ordem do “maior que” muda para “menor que”, afinal, maior denominador significa menor valor da divisão.

Opa, chegamos no que queríamos,

a n < b n

Como a série de b n converge, temos que a nossa série converge pelo teste da comparação

Resposta

Converge

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