Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

PUC Rio; Cálculo 4; Prova G2 de 2019.1

Questão 1 (Justifique todas as suas respostas):

Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.

b )     ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3

Passo 1

Ora, eu não sei você, mas estou sentindo que essa série converge afinal, tem n 3 no denominador se assemelhando a uma série p com p > 1 :

S é r i e   p = ∑ n = 1 ∞ 1 n p

E a gente sabe que a série p para p > 1 é convergente.

Quando a gente bate o olho e desconfia comparando com outras séries que temos em mente, é porque o problema pode ser feito usando o teste da comparação! Vamos nessa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ora, vamos tentar provar que ln ⁡ n é menor que n para n maior 0 :

ln ⁡ n < n

Bem, se passarmos o n para o outro lado...

ln ⁡ n - n < 0

Como por propriedade de logaritmo n = ln ⁡ e n ...

ln ⁡ n - n < 0   →

ln ⁡ n - ln ⁡ e n < 0     →

ln ⁡ n e n < 0

Ora, para isso ser sempre verdade temos que n / e n menor entre 0 e 1 . E veja que o menor valor de n é 1 e mesmo assim...

1 e < 1         ( a f i n a l   e ≅ 2,71 )

Quando n vai para o infinito...

lim n → ∞ ⁡ n e n

Por L’Hoptal...

lim n → ∞ ⁡ 1 e n = 0

Isso prova que n e n está sempre entre 0 e 1 independende do valor de n escolhido, então podemos afirmar que...

ln ⁡ n e n < 0

E, portanto...

ln ⁡ n < n

Passo 3

Tá, mas e daí?

Bem, se...

ln ⁡ n < n

Então...

ln ⁡ n n 3 < n n 3 = 1 n 2

Logo...

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3 < ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Como essa série maior é a série p = 2 , ela é convergente, o que implica na série de l n ser também convergente.

Resposta

Convergente.

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