Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

Teste da comparação

Estude a natureza das séries abaixo:

∑ n = 1 ∞ n + 1 - n - 1 n + 2

Passo 1

Bom, primeiro vamos tentar dar um palpite sobre a convergência dessa série. Olhando o seu termo geral, vemos que temos n tanto no numerador como no denominador, ou seja, o mesmo expoente de n , o que nos faz pensar que, mesmo que o termo geral dessa série vá para zero, ele não diminua tão rápido para a série convergir.

Beleza, então vamos tentar provar que essa série diverge. O Teste da razão parece muito complicado de aplicar, o da integral nem se fala né! O da raiz não faz sentido por que já temos uma raiz, não uma potência. O Teste da divergência também não vai dar certo, porque esse maldito “ - “ faz o termo geral ir para zero:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 - n - 1 n + 2 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 - n - 1 n + 2 =

= lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 / n 1 + 2 / n - 1 - 1 / n 1 + 2 / n = 1 - 1 = 0

Sobrou, então, o Teste da comparação, que também não parece um caminho muito bom, mas é o jeito!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não conseguimos aplicar o Teste da comparação quando temos muitos termos no numerador, não é? Fica difícil achar as relações de maior/ menor entre as séries assim. Então, vamos “concentrar” tudo no denominador. Como assim?

Lembra daquele produto notável a + b a - b = a 2 - b 2 ? Usando essa ideia, se a gente multiplicar o numerador por n + 1 + n - 1 conseguimos nos livrar da raiz. Sim WTF, quem pensaria nisso? Pois é, tem que ter muita inspiração para resolver algumas questões! Vamos fazer isso então:

n + 1 - n - 1 n + 2 = ( n + 1 - n - 1 ) n + 2 × n + 1 + n - 1 n + 1 + n - 1 =

= n + 1 2 - n - 1 2 n + 2 n + 1 + n - 1 =

= 2 n + 2 n + 1 + n - 1

Certo, conseguimos nos livrar das raízes no numerador, mas e agora?

Passo 3

Vamos comparar isso aí com o que? Bom, tem que ser com alguma série de convergência conhecida, então vamos procurar uma série parecida com essa que encontramos e que nos livre das raízes no denominador, para sabermos dizer sua convergência.

Não seria muito interessante se tivéssemos n + 2 n + 2 + n + 2 no denominador? Dessa forma, as raízes iriam sumir, pois

2 n + 2 n + 2 + n + 2 = 2 n + 2 + n + 2 = 1 n + 2

E essa série diverge. Ok, mas em que isso nos ajuda? Olha o seguinte:

2 n + 2 n + 1 + n - 1 > 2 n + 2 n + 2 + n + 2 = 1 n + 2

Ou seja, mostramos, por meio de muitas bruxarias, que a série do problema tem termos maiores que os de uma série que diverge, logo, ela também diverge.

Resposta

A série diverge.

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