Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

Teste da comparação

Analise a convergência das séries abaixo indicadas:

∑ n = 1 ∞ c o s ⁡ ( n θ ) n n

Passo 1

Opa, temos um cosseno nessa série, isso dá uma ajuda nas nossas contas, porque

- 1 ≤ cos ⁡ ( n θ ) ≤ 1

Assim se multiplicarmos isso por 1 / n n , que é maior que 0 , vamos ter

- 1 n n ≤ cos ⁡ n θ n n ≤ 1 n n

Assim achamos duas séries que são mais fáceis de trabalhar para ver se converge ou não, repara que o termo geral é igual fora o sinal, então basta olhar a convergência dessa série, porque com o teste da comparação vamos conseguir garantir se a nossa série converge ou diverge.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que olhar a seguinte série

∑ n = 1 ∞ 1 n n

Olha só, temos o seguinte:

∑ n = 1 ∞ 1 n n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2

Essa é uma p -série de p = 3 / 2 > 1 , logo, converge.

Passo 3

Voltando para o que tínhamos,

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n θ n n ≤ ∑ n = 1 ∞ 1 n n

Como aquela segunda série converge, pelo Teste da comparação, então, a série do problema converge.

Resposta

A série converge.

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