Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 672, exercício 3

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n + 1

Passo 1

Pelo formato da série, já vemos que o termo geral a n tende a zero quando n tende a infinito, logo, o Teste da Divergência não será útil aqui.

Vamos, então, tentar o Teste da comparação e, para isso, precisamos de um palpite sobre a convergência dessa série. Como o denominador cresce muito rápido, parece que o termo geral tende a zero rapidamente, o que nos leva a pensar que a série converge.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Certo, então precisamos encontrar uma série de termos maiores que a do problema que convirja. Podemos usar a p - série de p = 2 :

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Essa série é convergente!

Passo 3

Como

n 2 + n + 1 > n 2

Sabemos que

1 n 2 + n + 1 < 1 n 2

Então confirmamos que a série escolhida é maior que a do problema! E prontinho! Pelo Teste da Comparação, a série do problema converge já que 1 n 2 também converge! Feshow.

Resposta

A série converge.

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