Sabendo que a série ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 converge é correto afirmar que ∑ k = 1 ∞ k k 2 + 1   converge?

Sim ou Não?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma afirmação

“Sabendo que a série ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 converge”

E perguntou:

“é correto afirmar que ∑ k = 1 ∞ k k 2 + 1   converge?”

Para identificarmos se a afirmação está certa ou errada, precisamos usar o teste da comparação.

Vamos comparar a nossa série com uma outra que sabemos o comportamento, ou seja, comparamos nossa série com uma série conhecida.

E daí podemos ter duas opções:

  • Sempre que a série conhecida estiver por cima “por cima” e convergir, então a nossa série (que está “por baixo”) também irá convergir
  • Sempre que a série conhecida estiver “por baixo” e divergir, então nossa série (“que está por cima”) também irá divergir

Passo 2

O problema nos disse que como

∑ k = 1 ∞ 1 k 2  

Converge, então

∑ k = 1 ∞ k k 2 + 1

Também converge

Então, comparando com as opções do teste da comparação que falei ali no passo anterior, para que a série convirja, a série conhecida deve ser maior, deve estar “por cima”

Isso significa que os termos da série ∑ k = 1 ∞ k k 2 + 1

Deve ser MENOR do que a conhecida

∑ k = 1 ∞ 1 k 2

Passo 3

Então vamos verificar se isso se confirma. Analisando os termos da nossa série:

k k 2 + 1 = 1 2 ; 2 5 ; 3 10 ; 4 17

Com os termos da série conhecida:

1 k 2 = 1 ; 1 4 ; 1 9 ; 1 16

Vemos que a nossa série está “por cima” da série conhecida (que converge)

Então não podemos afirmar que nossa série converge, apenas que a série dada converge e só.

Assim a resposta certa é: não

Não é correto afirmar que se ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 converge, então ∑ k = 1 ∞ k k 2 + 1 também converge.

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

n ã o

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