Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

Questão 2: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

a )   ∑ n = 1 ∞ 1 n + n cos 2 ⁡ n

Passo 1

a )

Para testar quanto à convergência dessa série, podemos pensar no teste da comparação, afinal, como cos 2 ⁡ n é um número menor ou igual a 1 :

cos 2 ⁡ n ≤ 1

pois o maior valor que o cosseno pode assumir é 1 e o menor - 1 e ambos ao quadrado é 1 . Assim, por comparação temos...

n + n cos 2 ⁡ n ≤ n + n         →  

Invertendo os dois membros (não se esquecendo de trocar o sinal da desigualdade também):

  1 n + n cos 2 ⁡ n ≥ 1 n + n       →

∑ n = 1 ∞ 1 n + n cos 2 ⁡ n ≥ ∑ n = 1 ∞ 1 2 n = 1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n

Como a série ∑ n = 1 ∞ 1 n é a série harmônica (série que sabemos divergir), então, por comparação, a série que está por “cima”, também deve divergir, logo:

∑ n = 1 ∞ 1 n + n cos 2 ⁡ n           →             D i v e r g e

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Resposta

a )   D i v e r g e

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