Determine se a série converge ou diverge.

o) ∑ n = 1 ∞ 2 n n + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge. O termo geral da nossa série é dado por:

a n = 2 n n + 1

E sempre que a gente tiver um fatorial ou um expoente desse tipo, a gente pode pensar em utilizar o teste da razão. Isso porque o teste da razão nos diz que se calcularmos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

s e   0 ≤ L < 1     e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e s e   L > 1   o u lim n → ∞ ⁡ a n + 1 / a n = ∞   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e s e   L = 1 ,       e n t ã o   n ã o   s e   p o d e   f a l a r   n a d a

Então, vamos calcular nosso limite e verificar a convergência ou divergência dessa série de acordo com as condições do teste.

Vamos lá!

Passo 2

Já sabemos que a n = 2 n n + 1 , então a n + 1 será:

a n + 1 = 2 n + 1 ( n + 1 ) + 1 = 2 n + 1 n + 2

Assim, calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n n + 1 2 n + 1 n + 2

= lim n → ∞ ⁡ 2 n n + 1 ∙ n + 2 2 n + 1

Simplificando, temos:

lim n → ∞ ⁡ 2 n ( n + 2 ) 2 n ∙ 2 ∙ ( n + 1 )

= lim n → ∞ ⁡ n + 2 2 ( n + 1 ) = lim n → ∞ ⁡ n + 2 2 n + 2

Dividindo todo mundo por n pra fugir da indeterminação:

lim n → ∞ ⁡ n n + 2 n 2 n n + 2 n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n 2 + 2 n

Dessa forma, quando n → ∞ , vamos ter:

= 1 + 0 2 + 0 = 1 2

Portanto, lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 2 > 1 e podemos dizer que nossa série diverge, pelo teste da razão.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D i v e r g e

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