Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

USP, Cálculo 4, P1 - 2010, Questão 3b

Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:

b )   A   s é r i e   n = 0 1 - - 1 n n 2 cos n   é   c o n v e r g e n t e

Passo 1

Vamos primeiro verificar que se n for par:

k = 0 1 - - 1 2 k ( 2 k ) 2 cos 2 k = k = 0 1 - ( 1 ) ( 2 k ) 2 cos 2 k = 0

Se n for ímpar:

k = 0 1 - - 1 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) 2 cos 2 k = k = 0 1 - ( - 1 ) ( 2 k + 1 ) 2 cos ( 2 k + 1 ) = k = 0 2 ( 2 k + 1 ) 2 cos ( 2 k + 1 )

Show. Então nossa série na verdade se resume a:

k = 0 2 ( 2 k + 1 ) 2 cos ( 2 k + 1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E como fazemos pra ver se essa série é convergente?

Vou te dar uma dica boa. Se:

k = 0 2 ( 2 k + 1 ) 2 cos ( 2 k + 1 )

For convergente, então:

k = 0 2 ( 2 k + 1 ) 2 cos ( 2 k + 1 )

Também é convergente. Vamos fazer uma comparação:

2 ( 2 k + 1 ) 2 cos ( 2 k + 1 ) 0

Mas:

2 ( 2 k + 1 ) 2 cos ( 2 k + 1 ) 2 ( 2 k + 1 ) 2

Porque:

cos ( 2 k + 1 ) 1

Como já sabemos que a série 2 ( 2 k + 1 ) 2 é uma p-série com p = 2 , ela converge, assim, pelo critério da comparação, a série converge absolutamente.

A afirmação é verdadeira.

Resposta

b) Verdadeira

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