Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2013.1, Questão 2b

Decida sobre a convergência da série abaixo:

n = 0 1 1 + n 2

Passo 1

Pra começar, vamos verificar pelo teste da comparação, que:

1 1 + n 2 < 1 n 2 ,     p a r a   t o d o   n 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E pelo teste da integral, vamos calcular:

1 1 x 2 d x = lim T 1 T 1 x 2 d x = lim T - 1 T - - 1 1 = 1

E podemos então escrever que:

n = 0 1 1 + n 2 = n = 1 1 1 + n 2 + 1 1 + 0 2 = 1 + n = 1 1 1 + n 2

Passo 3

Como pelo teste da integral, a série abaixo converge,

n = 1 1 n 2

Por comparação concluímos que a série

n = 1 1 1 + n 2

Também converge!

Resposta

A série converge!

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