Diga se a série abaixo converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ n 2 n 2 + 2

Passo 1

A ideia aqui é utilizar o teste da comparação pra dizer se a série converge ou diverge. Repare que podemos dizer que:

0 ≤ sen ⁡ n 2 n 2 + 2

Como 0 ≤ sen ⁡ n 2 ≤ 1 e ( n 2 + 2 ) é sempre positivo, seja qual for o valor de n , podemos afirmar que:

sen ⁡ n 2 n 2 + 2 ≤ 1 n 2 + 2

Visto que n 2 + 2 > 0 e sen ⁡ n 2 ≤ 1 .

E repare que também podemos dizer que:

1 n 2 + 2 ≤ 1 n 2

Então, pelo teste da comparação, temos:

0 ≤ sen ⁡ n 2 n 2 + 2 ≤ 1 n 2 + 2 ≤ 1 n 2

Passo 2

Então, concluímos que, como:

sen ⁡ n 2 n 2 + 2 ≤ 1 n 2

E 1 n 2 converge, a série converge absolutamente!! Então a série converge!

Resposta

A série converge.

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Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente.(a) Se a nb n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?(b)Se a nb n para todo n , o que você pode
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