Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2014.1, Questão 1a

Dizer se a série

n = 1 + 1 n ( n + 1 )

converge ou diverge. No caso da série convergir, calcular o valor de sua soma.

Passo 1

Olhando para a série, vemos o seguinte:

1 n ( n + 1 ) = 1 n 2 + n < 1 n 2

Portanto podemos falar que essa série possui termos menores que os da p -série de p = 2 , que converge. Dessa forma, pelo Teste da comparação, a série do problema também converge.

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Passo 2

Certo, agora precisamos calcular a soma dessa série. O raciocínio que vamos usar aqui é tentar encontrar uma expressão para as somas parciais dessa série S n e depois fazer n tender a infinito, para encontrar a soma S que queremos.

Escrevendo por extenso a série, nós temos:

S n = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + 1 4 5 + 1 n ( n + 1 )

Se você reparar, os denominadores de dois termos seguidos sempre têm um termo em comum. Por exemplo, o 2 aparece no 1º e no 2º termo e o 3 aparece no 2º e no 3º. Percebeu?

Então, nós vamos reescrever o termo geral dessa série em frações parciais, para tentar “separar” essas partes repetidas que encontramos e fazer elas se cancelarem. Como assim? Olha só, temos o seguinte:

1 n ( n + 1 ) = 1 n - 1 n + 1

Reescrevendo a soma parcial nessa forma, nós temos:

S n = 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + 1 n - 1 n + 1

Veja que a parte negativa de um termo sempre aparece no próximo termo de forma positiva. Por exemplo: o 1º termo tem um - 1 / 2 , enquanto o 2º tem 1 / 2 . Isso significa que podemos cancelar todas essas frações, com exceção da primeira e da última! Então sobra apenas:

S n = 1 - 1 n + 1

Você provavelmente está pensando “eu nunca faria isso”. Calma, esses artifícios você aprende fazendo questões mesmo! Agora que você já viu, já fica esperto para pensar em usar essa técnica de novo.

Passo 3

Agora só falta tomar o limite da expressão que encontramos, pois queremos a soma dá série infinita.

lim n 1 - 1 n + 1 = 1 - 0 = 1

Temos, então:

n = 1 1 n ( n + 1 ) = 1

Resposta

A série converge e sua soma é igual a 1 .

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