Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 669, exemplo 2

Teste a série

n = 1 ln n n

Quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Como o termo geral da série tende para zero, o Teste da divergência não nos ajuda aqui, vamos tentar usar o da comparação. Antes, precisamos ter uma ideia sobre a convergência.

Essa série se parece bastante com a harmônica

n = 1 1 n

Então, parece que essa série tende a divergir também. É isso que tentaremos provar!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos, então, mostrar que a série do problema tem termos maiores dos que os de uma série que diverge. Aqui, temos um detalhe interessante, perceba que podemos dizer o seguinte:

ln n n 1 n

Mas para todos os valores? Não, apenas quando

ln n 1

Ou seja,

n e 1

Como o valor de e é não inteiro e maior que 2 , podemos afirmar que a relação acima vale para n 3 . Mas podemos fazer esse tipo de restrição para aplicar o Teste da comparação? Sim, pois o que importa para o teste é a tendência das séries do infinito, pois é assim que analisamos a convergência.

Então, como a partir de n = 3 , a série do problema tem termos maiores que os da Série harmônica, pelo Teste da comparação, podemos dizer que ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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