Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

UFPE, Cálculo 3, PF - 2018.1, Questão 4a

Verifique se a série

n = 1 - 1 n arctg n n 2

é absolutamente convergente.

Passo 1

Bem, o problema perguntou a se a série é absolutamente convergente, então vamos pegar a equivalente absoluta da série

n = 1 - 1 n arctg n n 2 = n = 1 arctg n n 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aí a sacada está em perceber que a função arco tangente é limitada com

- π 2 arctg n π 2 .

Assim, vamos ter

arctg n π 2 .

Dividindo por n 2

arctg n n 2 π 2 1 n 2

Assim, vamos ter como comparar a série do problema com a p-série

n = 1 arctg n n 2 π 2 n = 1 1 n 2 .

Como a série da direita converge e a série do problema é sempre menor que ela, segue, por comparação que

n = 1 - 1 n arctg n n 2

é absolutamente convergente.

Resposta

Absolutamente convergente.

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