Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

UFPE, Cálculo 3, 3º EE - 2018.1, Questão 1b

Questão 1: Escolha uma das sequências a n n = 1 :

b )   a n = 1 1 3 + 1 2 4 + 1 3 5 + + 1 n n + 2

Determine o lim n a n e teste a convergência ou divergência da série

n = 1 a n

Passo 1

Queremos encontrar a solução do limite...

lim n a n = lim n 1 1 3 + 1 2 4 + 1 3 5 + + 1 n n + 2

Veja que podemos escrever essa soma de uma forma mais condensada em forma de um somatório...

1 1 3 + 1 2 4 + 1 3 5 + + 1 n n + 2 = n = 1 n 1 n n + 2

Logo, o nosso limite fica sendo...

lim n a n = lim n n = 1 n 1 n n + 2 =

n = 1 1 n n + 2

Em outras palavras verificar qual é o valor desse limite, é encontrar o valor dessa série aí, saca?!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Veja que se temos uma fração com um denominador em fatorado, podemos pensar em frações parciais:

1 n n + 2 = A n + B n + 2

Descobrir A e B , são a nossa primeira tarefa aqui. Para descobrir, coloquemos esses denominadores em um denominador comum...

A n + B n + 2 = A n + 2 B n n n + 2

Como...

1 n n + 2 = A n + 2 B n n n + 2                    

A n + 2 B n = 1      

A n + 2 A + B n = 1  

2 A + A + B n = 1

Por igualdade de polinômios...

2 A + A + B n = 1 + 0 n

Onde tiramos...

2 A = 1   A + B = 0               r e s o l v e n d o   a   e q u a ç ã o   d e   c i m a   e   s u b s t i t u i n d o   e m   b a i x o

A = 1 2           e             B = - 1 2                                                                                                                                                                                                          

Logo, por frações parciais...

1 n n + 2 = A n + B n + 2 = 1 2 n - 1 2 n + 2 =

1 2 1 n - 1 n + 2

Então a série que buscamos o resultado fica assim...

n = 1 1 n n + 2 = 1 2 n = 1 1 n - 1 n + 2

Passo 3

O bom dessa série é que temos termos que somam e termos muito parecidos que se subtraem! Se a gente desenvolver um pouco esse série:

1 2 n = 1 1 n - 1 n + 2 = 1 2 1 1 - 1 3 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 5 + 1 4 - 1 6 + 1 5 - 1 7 +

Veja que a série, quando a gente vai somando, ela vai cortando os termos um por um e só sobram o primeiro termo e o terceiro:

Logo...

1 2 n = 1 1 n - 1 n + 2 = 1 2 1 + 1 2 = 1 2 3 2 =

3 4

Então, pelo passo 1 ...

lim n a n = 3 4

Passo 4

AH! E claro! Não podemos deixar de avaliar a convergência da série:

n = 1 a n

Para essa série ter a chance de convergir, o limite do termo geral a n no infinito tinha que ser 0 . Como isso não rolou, a série é divergente!

Resposta

lim n a n = 3 4         e         n = 1 a n   é   d i v e r g e n t e

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