Um bloco de massa M = 5,0   k g se move em uma linha reta sobre uma superfície horizontal sem atrito sob a influência de uma força que varia com a posição, como mostra a Fig. 1. A escala vertical do gráfico é definida por F s = 10,0   N . Qual é o trabalho realizado pela força enquanto o bloco se desloca da origem até x = 8,0   m ?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Nós temos aqui um bloquinho com massa M = 5,0   k g que se move em linha reta, no entanto, a força varia com a posição que o bloquinho se encontra. O gráfico nos dá exatamente a forma com que a força varia com a posição

Note que nos é dado que F s = 10,0   N , e o eixo horizontal indica a posição. Nós vamos precisar justificar a expressão utilizada para calcular o trabalho em diferentes regiões do gráfico observando a forma como a força evoluí. Note que em alguns momentos ela é constante e em outros ela cai com uma certa inclinação. Vamos fazer passo a passo! Vem comigo!

Passo 2

O primeiro trecho é bastante direto, note que no intervalo x = 0 até x = 2 , temos uma reta horizontal, e portanto, uma força constante, o trabalho pode ser calculado neste deslocamento como

W 02 = F s Δ x = ( 10 ) ( 2 - 0 )

Ou, seja, temos que W 02 = 20   J . Temos também outro intervalo em que a força é constante, o intervalo de x = 4 até x = 6 , no entanto, temos que a reta constante está em F = 0 , portanto

W 46 = F Δ x = 0

Vamos analisar agora os intervalos em que a força não é constante! Vem comigo!

Passo 3

No intervalo de x = 2 até x = 4 temos o seguinte triângulo

Nós temos que F é uma reta de inclinação negativa. A equação da reta seria da forma

F ( x ) = a x + b

Temos que quando x = 2 , F ( x ) = F s = 10 , portanto, podemos dizer que

10 = 2 a + b

Também temos que em x = 4 , F ( x ) = 0 , portanto, temos que

0 = 4 a + b

Desta última equação encontramos que b = - 4 a , ou seja, temos da primeira equação que

10 = 2 a - 4 a = - 2 a

De forma que a = - 5 e b = 20 . E a nossa força obedece a seguinte relação relação

F ( x ) = 20 - 5 x

Okay! Sabemos como a força evolui! Mas e daí? Não podemos calcular o trabalho da forma que calculamos na primeira parte! Agora, precisaremos utilizar uma relação um pouco mais geral! Você consegue se lembrar? Saca só!

Passo 4

Temos que o trabalho realizado por uma força ao longo de uma trajetória é dado por

W a b = ∫ a b F ( x ) d x

Usando em nosso caso, que estamos no intervalo x = 2 e e x = 4 e a força que obtivemos no passo anterior, temos que

W 24 = ∫ 2 4 ( 20 - 5 x ) d x = 20 ∫ 2 4 d x - 5 ∫ 2 4 x d x

Lembrando que estas integrais tomam a seguinte forma

∫ 2 4 d x = x | 2 4 = 4 - 2 = 2

e, também que

∫ 2 4 x d x = x 2 2 | 2 4 = 1 2 [ 4 2 - 2 2 ]

Calculando o valor explicitamente, temos que

∫ 2 4 x d x = 1 2 [ 16 - 4 ] = 6

Ou seja, o trabalho realizado neste intervalo é

W 24 = 20 ( 2 ) - 5 ( 6 ) = 40 - 30 = 10   J

Falta apenas um intervalo para calcularmos! Este intervalo é bastante parecido com o que fizemos agora! O processo é o mesmo! Então, vamos repeti-lo! Vem comigo!

Passo 5

No intervalo de x = 6 até x = 8 temos o seguinte triângulo

Nós temos que F é uma reta de inclinação negativa. A equação da reta seria da forma

F ( x ) = a x + b

Temos que quando x = 6 , F ( x ) = 0 , portanto, podemos dizer que

0 = 6 a + b

daqui temos que b = - 6 a . Também temos que em x = 8 , F ( x ) = - F s / 2 = - 5 , portanto, temos que

- 5 = 8 a + b

Ou seja, temos que

- 5 = 8 a - 6 a = 2 a

De forma que a = - 5 / 2 e portanto b = 15 . A equação fica então da forma

F ( x ) = 15 - 5 2 x

Vamos agora aplicar novamente a integral para o cálculo do trabalho! Vem comigo!

Passo 6

Como estamos no intervalo x = 6 até x = 8

W 68 = ∫ 6 8 ( 15 - 5 2 x ) d x = 15 ∫ 6 8 d x - 5 2 ∫ 6 8 x d x

Lembrando que estas integrais tomam a seguinte forma

∫ 6 8 d x = x | 6 8 = 8 - 6 = 2

e, também que

∫ 6 8 x d x = x 2 2 | 6 8 = 1 2 [ 8 2 - 6 2 ]

Calculando o valor explicitamente, temos que

∫ 6 8 x d x = 1 2 [ 64 - 36 ] = 14

Ou seja, o trabalho realizado neste intervalo é

W 68 = 15 ( 2 ) - 5 2 ( 14 ) = 30 - 35 = - 5   J

Agora é só somar todo mundo! Temos que

W T = W 02 + W 24 + W 46 + W 68 = 20   J + 10   J + 0 + ( - 5   J )

Finalmente, temos que o trabalho é W T = 25   J . A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

W T = 25   J

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