( a ) Em um certo instante, um objeto que se comporta como uma partícula sofre a ação de uma força F → = ( 4,0   N ) i ^ - ( 2,0   N ) j ^ + ( 9,0   N ) k ^ quando sua velocidade é v → = - ( 2,0   m / s ) i ^ + ( 4,0   m / s ) k ^ . Qual é a taxa instantânea com a qual a força realiza trabalho sobre o objeto? ( b ) Em outro instante, a velocidade tem apenas a componente y . Se a força não muda e a potência instantânea é - 12   W , qual é a velocidade do objeto nesse instante?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Aqui nós temos uma partícula que se move no espaço, em um instante no tempo ela tem a seguinte velocidade

v → = - ( 2,0   m / s ) i ^ + ( 4,0   m / s ) k ^

neste mesmo instante de tempo, ela está sob a influência da seguinte força

F → = ( 4,0   N ) i ^ - ( 2,0   N ) j ^ + ( 9,0   N ) k ^

a primeira alternativa pede com que calculemos qual a taxa instantânea que a força realiza trabalho sobre o objeto. Ou seja, é pedido para que calculemos a potência desta força, instantâneamente, esta potência é definida como

P = d W d t

Será que conseguimos identificar alguma relação entre a Força e velocidade dadas, e o trabalho realizado? Pois, o caminho é esse!

A segunda alternativa nos indica então que em um instante diferente de tempo a velocidade é apenas na direção y , ou seja, temos uma velocidade da forma

v → = v y   j ^

a força continua sendo a mesma e nos é dado que a potência instantânea é - 12   W . Utilizando estes dados precisamos utilizar a relação entre pot��ncia e trabalho, para obter uma relação entre a velocidade e a força dadas, como foi feito na alternativa anterior! Belezinha? Então vamos que vamos!

Passo 2

Temos que o trabalho realizado por uma força é dado por

W = F → ⋅ r →

em que r → é o vetor deslocamento, e a força não depende da trajetória. Se calcularmos a potência utilizando esta definição, temos que

P = d W d t = d d t ( F → ⋅ r → )

Se a força for tomada como constante ao longo do tempo, temos que

P = F → ⋅ d r → d t

Identificando que v → = d r → d t . Ou seja, temos que

P   =   F → ⋅ v →

quando a força é constante no tempo. No instante que o enunciado nos dá, temos que a potência será

P   =   F → ⋅ v → = [ ( 4,0   N ) i ^ - ( 2,0   N ) j ^ + ( 9,0   N ) k ^ ] ⋅ [ - ( 2,0   m / s ) i ^ + ( 4,0   m / s ) k ^ ]

Resolvendo o produto escalar, temos que

P = ( 4,0   N ) ( - 2,0   m / s ) + ( - 2,0   N ) ( 0   m / s ) + ( 9,0   N ) ( 4,0   m / s ) = - 8   W   +   36   W

Resumindo, temos que a potência instantânea é tal que

P = 28   W

Agora temos que fazer basicamente o caminho contrário para a próxima alternativa! Bora lá!

Passo 3

Temos que em um outro instante de tempo, a velocidade está apenas na direção y , e portanto, tem o seguinte formato

v → = v y   j ^

Utilizando que a potência instantânea é - 12   W , e a força continua a mesma, podemos usar a mesma relação que usamos no passo anterior, de forma que

P = F → ⋅ v → = [ ( 4,0   N ) i ^ - ( 2,0   N ) j ^ + ( 9,0   N ) k ^ ] ⋅ [ v y   j ^ ]

Resolvendo o produto escalar, temos que

P = ( 4,0   N ) ( 0   m / s ) + ( - 2,0   N ) ( v y ) + ( 9,0   N ) ( 0   m / s ) = - 2,0   N   v y  

Como temos que P = - 12   W , podemos obter a componente como

- 12   W   =   - 2,0   N   v y

De forma que

v y = 6,0   m / s

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a )   P = 28   W   ( b )   v y = 6,0   m / s

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