Uma moeda desliza sobre um plano sem atrito em um sistema de coordenadas x y , da origem até o ponto de coordenadas p → = ( 3,0   m ) i ^ + ( 4,0 m ) j ^ , sob o efeito de uma força constante. A força tem um módulo de 2,0   N e faz um ângulo de 100 ° no sentido anti-horário com o semi-eixo x positivo. Qual é o trabalho realizado pela força sobre a moeda durante esse deslocamento?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos diz que uma moeda desliza em um plano sem atrito, da origem até o ponto de coordenadas p → = ( 3,0   m ) i ^ + ( 4,0 m ) j ^ , sob efeito de uma força constante F = 2,0   N em uma direção específica. A direção da força é dada pelo seguinte ângulo com o eixo x no sentido anti-horário θ = 100 ° , temos o seguinte esquema de todo este sistema

A questão pede então que calculemos o trabalho realizado por esta força, para levar a partícula da origem ( 0,0 ) até o ponto ( 3,4 ) . Como podemos fazer isso? Como aqui temos um caminho retilíneo e uma força constante, podemos simplesmente utilizar que

W = F → ⋅ r → = | F → | | r → | c o s ( α )

em que r → é o vetor deslocamento, e α é o ângulo entre o vetor deslocamento e a força aplicada. Sabe quem é este vetor em nosso caso? Como temos que partimos da origem, r → = ( 3 - 0,4 - 0 ) = p → . Já que um vetor deslocamento pode ser obtido calculando a diferença entre o ponto final e inicial. Vamos aplicar então a expressão para o trabalho! Vem comigo!

Passo 2

Para utilizar a fórmula para o trabalho precisamos saber qual é o ângulo α . Olhando o esquema do passo 1, sabe dizer qual será este ângulo? Saca só! Temos que θ = 100 ° de acordo com nosso enunciado, mas vamos analisar o seguinte esquema

No que temos θ = α + β . Nós precisamos saber quem é α , mas para isso, precisamos de β . Consegue pensar em alguma maneira de obter este ângulo? Eu sugiro montar o seguinte triângulo retângulo:

Se lembra das relações de seno, cosseno e tangente de um triângulo retângulo? Nós temos aqui dado para nós o cateto oposto e o adjacente, então, podemos dizer que

t a n ( β ) = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = 4 3

E, portanto podemos dizer que β = a r c t a n ( 4 / 3 ) = 0,98   r a d , ou podemos lembrar que π equivale ao ângulo de 180 ° para utilizar a regra de 3 e obter

β = 0,98 ( 180 ° ) π = 53,1 °

Maravilha! Com isso podemos calcular qual é o ângulo α e o trabalho que a força realizou! Bora lá!

Passo 3

Se temos que θ = 100 ° , podemos calcular que

100 ° = α + β = α + 53,1 °

E, portanto, temos que α = 100 ° - 53,1 ° = 46,9 ° . E então o trabalho pode ser obtido como

W = | F → | | p → | c o s ( 46,9 ° )

O módulo da força nos é dado no enunciado como | F → | = 2,0 N , mas você lembra como obter o módulo do vetor p → ? Precisamos utilizar a seguinte relação

| p → | = p x 2 + p y 2 = ( 3 ) 2 + ( 4 ) 2

em que p x e p y são respectivamente os componentes de p → em x e y . Fazendo a continha acima temos | p → | = 25 = 5 . E, portanto, temos que

W = | F → | | p → | c o s ( 46,9 ° ) = ( 2,0 ) ( 5 ) c o s ( 46,9 ° )

que resulta em

W = 6,8   J

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

W = 6,8   J

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