Um galão de azeite de 6,0   k g se move ao longo do eixo x de acordo com a equação x ( t ) = 0,5   t 4 + 2,0   t 2   - 4,0 , com x em metros e t em segundos, impulsionado por uma força F → . Determine

a ) o vetor F → no instante t = 2,0   s .

Passo 1

Opa, belezinha?

Saca só! Temos um galão de azeite de massa m = 6,0   k g e ele move em apenas uma dimensão ao longo do eixo x seguindo a seguinte relação

x ( t ) = 0,5   t 4 + 2,0   t 2   - 4,0

através do impulsionamento da força F → . Essa alternativa pede que calculemos o vetor força F → no instante t =   2,0   s . Mas como fazemos isso? Vamos lembrar primeiro a segunda lei de Newton

F → = m   a →

em que a → é o vetor aceleração! Então tudo que precisamos é obter este vetor aceleração e multiplicar pela massa! Como temos aqui uma posição que varia instantaneamente com o tempo, podemos escrever a aceleração como

a → = d 2 x ( t ) d t 2 x ^

A segunda derivada no tempo da posição. Maravilha! Então vamos fazer isso! Vem comigo!

Passo 2

Nós temos que a dependência temporal da posição é dada pelo seguinte polinômio

x ( t ) = 0,5   t 4 + 2,0   t 2   - 4,0

A primeira derivada pode ser escrita como

d x ( t ) d t = d d t [ 0,5   t 4 + 2,0   t 2   - 4,0 ]

Lembrando que a derivada é linear, ou seja, podemos escrever a derivada da soma como a soma das derivadas, e tirar constantes multiplicativas para fora, obtemos

d x ( t ) d t = 0,5 d d t [ t 4 ] + 2,0 d d t [ t 2 ] - d d t [ 2,0 ]

Lembra como fazemos esta derivada? Ela usa a regra do tombo! Tenta aí, que eu vou apresentar no próximo passo!

Passo 3

Lembrando que as derivadas de constantes é sempre zero, e da regra do tombo

d d t [ t n ] = n   t n - 1

podemos escrever que

d x ( t ) d t = 0,5 [ ( 4 ) t 4 - 1 ] + 2,0 [ ( 2 ) t 2 - 1 ] - [ 0 ] = 2,0   t 3 + 4,0   t

Mas essa é apenas a primeira derivada, precisamos na verdade da segunda! Mas o processo é basicamente o mesmo, podemos calcular a aceleração como

a → = d d t [ 2,0   t 3 + 4,0   t ] x ^ = 2,0 d d t [ t 3 ] x ^ + 4,0   d d t [ t ] x ^

usando a regra do tombo novamente

a → = 2,0 [ ( 3 ) t 3 - 1 ] x ^ + 4,0 [ ( 1 ) t 1 - 1 ] x ^ = [ 6,0   t 2 + 4,0 ] x ^

Esse é o nosso vetor aceleração! Vamos agora calcular a nossa força! Vem comigo!

Passo 4

Usando o vetor aceleração que calculamos, a força pode ser obtida como

F → = m [ 6,0   t 2 + 4,0 ] x ^ = 6,0   [ 6,0   t 2 + 4,0 ]

Ou simplesmente

F → = [ 36,0   t 2 + 24,0 ] x ^

Agora, aplicando no instante de tempo desejado t = 2,0   s , obtemos

F → = [ 36,0   ( 2,0 ) 2 + 24,0 ] x ^ = 168   N   x ^

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

F → = 168   N   x ^

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