Uma partícula move-se, sob a ação da força F → = 10 y i → - 10 x j →   ( N ) , no plano x y . Calcule:

a) O trabalho realizado pela força F → ao longo do quadrado indicado na figura 2.19 . O que você conclui sobre o caráter conservativo ou não de F → ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma força F → = 10 y i → - 10 x j →   ( N ) , que realiza um trabalho ao longo do quadrado indicado na figura abaixo:

Nós precisamos determinar o valor desse trabalho e verificar se a força F → é conservativa. Lembrando que o trabalho é calculado por:

W = ∫ a b F → ∙ d r →

E que para a força ser conservativa, o trabalho precisa ser independente da trajetória, então, o trabalho total calculado ao longo do caminho r → precisaria ser zero. Vamos verificar isso!

Passo 2

Galera, vamos começar dividindo o quadrado em 4 partes. Assim, teremos:

r → 1 = d x   i →           { 2 ≤ x ≤ 6 } r → 2 = d y   j →           { 2 ≤ y ≤ 6 } r → 3 = d x   i →           { 6 ≤ x ≤ 2 } r → 4 = d y   j →           { 6 ≤ y ≤ 2 }

Então, o trabalho total vai ser a soma dos trabalhos calculados em cada caminho, ou seja:

W T = W 1 + W 2 + W 3 + W 4

E como W = ∫ a b F → ∙ d r → , vamos calcular as integrais nos intervalos respectivos de r → .

Começando com W 1 , para r → 1 = d x   i → e 2 ≤ x ≤ 6 , temos:

W 1 = ∫ a b F → ∙ d r → = ∫ 2 6 10 y i → - 10 x j → ∙ d x   i →

Uma coisa importante que nós vamos usar, é o produto vetorial entre os versores i → e j → . Onde:

i → ∙ j → = 0 i → ∙ i → = 1 j → ∙ j → = 1

Assim, vamos ter:

W 1 = ∫ 2 6 10 y   d x

Integrando e considerando os pontos onde r → começa (no caso, em ( 2 ,   2 ) ) e termina (no caso, em ( 6 ,   2 ) ), temos:

W 1 = 10 x y 2 ,   2 6 ,   2 = 10 6 ∙ 2 - 2 ∙ 2 = 80   J

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para W 2 :

W 2 = ∫ 2 6 10 y i → - 10 x j → ∙ d y   j → = ∫ 2 6 - 10 x   d y

Integrando e aplicando os intervalos, temos:

W 2 = - 10 x y 6 ,   2 6 ,   6 = 10 6 ∙ 6 - 6 ∙ 2 = - 240   J

Para W 3 , de maneira análoga, temos:

W 3 = ∫ 6 2 10 y i → - 10 x j → ∙ d x   i → = ∫ 6 2 10 y   d x

Integrando e aplicando os intervalos:

W 3 = 10 x y 6 ,   6 2 ,   6 = 10 2 ∙ 6 - 6 ∙ 6 = - 240   J

E por fim, para W 4 :

W 4 = ∫ 6 2 10 y i → - 10 x j → ∙ d y   j → = ∫ 6 2 - 10 x   d y

Integrando e aplicando os intervalos:

W 4 = - 10 x y 2 ,   6 2 ,   2 = - 10 2 ∙ 2 - 6 ∙ 2 = 80   J

Passo 4

Somando W 1 , W 2 , W 3 e W 4 , temos o trabalho total:

W T = W 1 + W 2 + W 3 + W 4

W T = 80 - 240 - 240 + 80 = - 320   J

Como W T ≠ 0 ao longo do caminho fechado, ele depende do caminho e, portanto, a força F → não é conservativa.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

W T = - 320   J

A   f o r ç a   F →   n ã o   é   c o n s e r v a t i v a

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