10. Considere um objeto sujeito a uma força F dada por F = y , - x . Calcule o trabalho dessa força do ponto r = 0,0 até o ponto r = 1,1 nos seguintes caminhos:

e) y = x 4

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão queremos obter o trabalho de uma força vetorial F = y , - x para levar um objeto de r = 0,0 para r = 1,1 através do caminho y = x 4 .

Parece complicado, não é? 😐

O trabalho de uma força é dado por

W = ∫ F · d r

Como nesse caso a força é dada pela função vetorial F = y , - x , então o produto interno F · d r será dado por

W = ∫ y , - x · d x , d y = ∫ y d x - x d y

W = ∫ y d x - ∫ x d y

Assim podemos substituir o caminho nessa integral e aplicarmos os limites de integração.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

O nosso caminho é dado por y = x 4

Ou seja, substituímos y por x 4 e consequentemente

d y d x = d x 4 d x = 4 x 3

d y = 4 x 3 d x

Aplicando os limites de integração entre 0 e 1 (que é a variação em x ), temos

W = ∫ y d x - ∫ x d y

W = ∫ 0 1 x 4 d x - ∫ 0 1 x 4 x 3 d x

W = ∫ 0 1 x 4 d x - ∫ 0 1 4 x 4 d x

Integrando pelo método de integração polinomial, vamos obter

∫ x 4 d x = x 5 5 → ∫ 0 1 x 4 d x = 1 5

∫ 4 x 4 d x = 4 x 5 5 → ∫ 0 1 4 x 4 d x = 4 5

Substituindo em W , temos

W = ∫ 0 1 x 4 d x - ∫ 0 1 4 x 4 d x

W = 1 5 - 4 5

W = - 3 5   J

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

W = - 3 5   J

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