Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Em cada item é dado um somatório de n parcelas. Determine um intervalo [ a ,   b ] e uma função f   :   [ a ,   b ]   →   R tais que o somatório dado seja a soma de Riemann de f com n subintervalos e com pontos amostrais nas extremidades direitas desses subintervalos.

c) ∑ k = 1 n ln ⁡ 2 n e k ln ⁡ 2 n

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos detectar a função f ( x ) :   [ a , b ] e o intervalo [ a , b ] da soma de Riemann dada.

Lembremos que, para uma soma de Riemann de n subintervalos e pontos amostrais na extremidade direita dos intervalos vamos ter:

∑ k = 1 n f ( x k + 1 ) ( x k - x k - 1 ) =   ∑ k = 1 n f x k b - a n

Observemos que o valor dos intervalos ( x k - x k - 1 ) é o mesmo sempre e se iguala a b - a n ,   dessa forma podemos dizer:

x k - x k - 1 =   b - a n

x k =   b - a n   +   x k - 1

De certo que, se quisermos x k + 1   só precisamos adicionar mais b - a n , então podemos afirmar, para k = 1:

x 1 =   b - a n   +   x 0

E podemos prosseguir:

x 2 =   2 b - a n   +   x 0

.

.

.

x n =   n b - a n   +   x 0

Percebemos que x n = b e   x 0 = a , basta desenvolver o produto e reorganizar os termos que a igualdade surge:

x n -     x 0 = b - a

Por fim, podemos reescrever ∑ k = 1 n f x k b - a n     como ∑ k = 1 n f x 0 + k b - a n b - a n

Passo 2

Ufa kkkk. Sabendo disso tudo e aproveitando da nossa conclusão final, vamo de fato começar a questão:

∑ k = 1 n f x 0 + k b - a n b - a n = ∑ k = 1 n ln ⁡ 2 n e k ln ⁡ 2 n

Podemos dizer que:

b - a n =   ln ⁡ 2 n = ( ln ⁡ 2 ) - 0 n

Logo, nosso intervalo será a , b =   0 , l n ⁡ 2 = [ x 0 , x n ]

Passo 3

Agora vamos estudar f ( x ) e conferir se bate com nosso intervalo. Podemos dizer que:

f x 0 + k b - a n = e k ln ⁡ 2 n

Se dissermos que f ( x )   =   e x teríamos:

e x 0 + k b - a n =   e 0 + k ln ⁡ 2 - 0 n =   e k ln ⁡ 2 n = e k ln ⁡ 2 n

De fato!

Questão encerrada pessoal 😉

Resposta

(c) [ a ,   b ]   =   [ 0 ,   l n   2 ]   e   f ( x )   =   e x

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