Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Transforme em integrai definida e calcule:

lim n → ∞ ⁡ ∑ j = 1 n j 5 n 6

No intervalo 0,1 .

Passo 1

Vimos na teoria que a definição de integral definida é

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ⋅ Δ x = ∫ a b f x d x

Com

Δ x = b - a n

Nós sabemos o intervalo de integração dessa para, ele disse que quer no intervalo de 0 à 1 , então a = 0 e b = 1 .

Isso também nos dá o valor de Δ x que vai ser 1 n , tudo se resume agora a acharmos a função f , vamos comparar o limite da definição com o limite que temos

lim n → ∞ ⁡ ∑ j = 1 n j 5 n 6 = lim n → ∞ ⁡ ∑ j = 1 n f x j 1 n

Isso nos diz que

j 5 n 6 = f x j 1 n

j 5 n 5 = f x j

Considerando x j = j n Vamos ter

f x j = j n 5

Isso nos diz que a função f é

f x = x 5

Passo 2

Aquele somatório vai virar a integral

lim n → ∞ ⁡ ∑ j = 1 n j 5 n 6 = ∫ 0 1 x 5 d x

Resolvendo a integral

∫ 0 1 x 5 d x = x 6 6 x = 0 1 = 1 6 6 - 0 6 6 = 1 6

Resposta

1 6

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