Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

Ver Teoria

Enunciado

Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Em cada região marcada, está indicada a medida da área.

  1. Escreva o resultado das integrais ∫ a b f ( x ) d x ,   ∫ b c f ( x ) d x ,   ∫ c d f ( x ) d x ,   ∫ d e f ( x ) d x em termos das medidas das áreas
  2. Escreva o resultado das integrais ∫ a c f ( x ) d x ,   ∫ a d f ( x ) d x ,   ∫ a e f ( x ) d x em termos das medidas das áreas
  3. Escreva o resultado A 1 + A 2 ,   A 1 + A 2 + A 3 ,   A 1 + A 2 + A 3 + A 4 em termos das integrais

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema nos deu o gráfico de uma função f ( x )

x são negativas e acima são positivas

então a ideia aqui é bem tranquila: ir associando cada integral dada com as áreas do gráfico de f ( x ) .

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

As integrais que precisamos calcular são:

∫ a b f ( x ) d x ,   ∫ b c f ( x ) d x ,   ∫ c d f ( x ) d x ,   ∫ d e f ( x ) d x

vamos começar com a primeira:

∫ a b f ( x ) d x

Então precisamos verificar qual área está compreendida entre o eixo x e a função f ( x ) , entre o intervalo [ a , b ] :

E o resto? O resto não está compreendido nos limites de integração! Então queremos apenas a área A 1 , e como ela fica abaixo do eixo x , o valor da integral é - A 1 :

∫ a b f ( x ) d x = - A 1

Beleza?

Passo 3

Agora vamos ver a região que corresponde a essa integral aqui

∫ b c f ( x ) d x

Olhando apenas o intervalo [ b , c ] a região é apenas A 2 :

x , a área A 2 é positiva:

∫ b c f ( x ) d x = A 2

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora a integral do intervalo [ c , d ] :

∫ c d f ( x ) d x

No nosso gráfico esse intervalo corresponde à região A 3 :

x , então a integral vale - A 3 :

∫ c d f ( x ) d x = - A 3

+ A 3 quando temos ∫ d c f ( x ) d x , beleza? Mas isso é papo para outro item dessa questão!

Vamos para a última integral?

  ∫ d e f ( x ) d x

Ela representa a última região hachurada:

ela está totalmente acima do eixo, então a área é positiva.

∫ d e f ( x ) d x = A 4

Beleza? E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ a b f ( x ) d x = - A 1

∫ b c f ( x ) d x = A 2

∫ c d f ( x ) d x = - A 3

∫ d e f ( x ) d x = A 4

Exercícios de Livros Relacionados

Se A é a área sob a curva y = e x de 1 a 3 , use o Exercício 25 para encontrar um valor de n tal que R n - A0,0001 .
(a) Estime a área sob o gráfico de f x = cos ⁡ x de x = 0 até x = π 2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é uma subestimativ
Com uma calculadora programável ou computador (veja as instruções para o Exercício 9 da Seção 5.1), calcule as somas de Riemann esquerda e direita para a função f x = sen ⁡ ( x 2 ) no intervalo [ 0,1
Expresse a integral como um limite de somas. Depois, calcule, usando um sistema de computação algébrica para encontrar a soma e o limite.∫ 2 10 x 6 d x
Encontre uma aproximação para a integral ∫ 0 4 x 2 - 3 x d x usando uma soma de Riemann com as extremidades direitas e n = 8 . (b) Faça um diagrama como a Figura 3 para ilustrar a aproximação da parte