Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Considere a função f   cujo gráfico está representado abaixo. Em cada região marcada, está indicada a medida da área.

  1. Escreva o resultado A 1 + A 2 ,   A 1 + A 2 + A 3 ,   A 1 + A 2 + A 3 + A 4 em termos das integrais

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema nos deu o gráfico de uma função f ( x )

x são negativas e acima são positivas

Quando os limites de integração correspondem ao intervalo na ordem crescente, a área correspondente segue o sinal normal: acima do eixo x é positiva, abaixo do eixo x é negativa.

então a ideia aqui é bem tranquila: ir associando cada soma de área dada com as integrais, mas tomando cuidado com os limites de integração!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar pela primeira soma de áreas:

A 1 + A 2

Analisando o gráfico da função f x :

a até c , eles se dividem em dois a , b e b , c . E é só escrever em termos das integrais? não!

Temos um porém: no intervalo [ a , b ] a área A 1 é negativa, então para obtermos um resultado positivo na integral, precisamos inverter os limites de integração:

A 1 + A 2 = ∫ b a f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x

Já para a área A 2 não é necessário inverter os limites, pois a área já é positiva. Beleza?

Passo 3

Agora vamos calcular

A 1 + A 2 + A 3

Olhando para o gráfico, precisamos levar em consideração os intervalos:

a , b ,   b , c ,   [ c , d ]

As áreas A 1 e A 3 são negativas! Então nesses intervalos precisamos inverter os limites de integração:

A 1 + A 2 + A 3 = ∫ b a f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x + ∫ d c f ( x ) d x

assim garantimos que o resultado das integrais são todos positivos!

Tranquilo? Vamos para a última soma de áreas?

Passo 4

Precisamos agora somar todas as áreas:

A 1 + A 2 + A 3 + A 4

Queremos todas as regiões hachuradas:

E aqui de novo: nas integrais que representam as áreas A 1 e A 3 , para que o resultado seja positivo, precisamos inverter os limites de integração!

Aí a soma de todas as áreas fica assim:

A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = ∫ b a f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x + ∫ d c f ( x ) d x + ∫ d e f ( x ) d x

E acabou!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

A 1 + A 2 = ∫ b a f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x

A 1 + A 2 + A 3 = ∫ b a f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x + ∫ d c f ( x ) d x

A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = ∫ b a f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x + ∫ d c f ( x ) d x + ∫ d e f ( x ) d x

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