Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Dada a função

f x = 1 x           1 ≤ x ≤ e

Determine a soma de Riemann pela esquerda e pela direita usando 2 retângulos, e coloque em ordem crescente o valor calculado e o valor real da área.

Passo 1

Vamos começar fazendo a soma de Riemann pela esquerda, lembra como é sua fórmula que vimos na teoria?

S n e s q u e r d a = f x 0 ∙ Δ x +   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n ⋅ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 0 e terminando com i = n - 1 .

Com

Δ x = b - a n

Passo 2

Beleza, vamos identificar cada uma dessas paradas. O número de retângulos é o valor de n , então

n = 2

Além disso temos os valores do intervalo então

a = 1

b = e

Beleza já temos praticamente tudo que precisamos para a soma

S 2 e s q u e r d a = f x 0 Δ x +   f x 1 Δ x

S 2 e s q u e r d a = Δ x f x 0 +   f x 1

O valor de Δ x vai ser

Δ x = e - 1 2

Agora vamos achar os valores de x i

x 0 = a = 1

x 1 = a + 1 . Δ x = 1 + e - 1 2 = e + 1 2

Passo 3

A soma vai ficar

S 2 e s q u e r d a = e - 1 2 1 1 + 2 e + 1

S 2 e s q u e r d a = e - 1 2 + e - 1 e + 1 = e - 1 e + 1 2 e + 1 + 2 e - 1 2 e + 1 = e 2 + 2 e - 3 2 e + 1  

S 2 e s q u e r d a = e - 1 e + 3 2 e + 1 ≅ 1,32

Passo 4

Vamos agora para a soma pela direita

S n d i r e i t a =   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n ⋅ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 1 e terminando em i = n .

Passo 5

No caso da soma pela direita vamos ter x i levemente diferentes, vamos recalcular para você ver.

x 1 = a + 1 . Δ x = 1 + e - 1 2 = e + 1 2

x 2 = a + 2 . Δ x = 1 + 2 . e - 1 2 = e

Repara que o x 0 não entra nessa conta e o x 2 que não tinha agora apareceu, essa é a grande diferença.

O primeiro cara sai e acrescentamos um novo último.

Passo 6

A soma vai ficar

S 2 d i r e i t a = e - 1 2 2 e + 1 + 1 e = e - 1 2 2 e + 1 + 2 2 e = e - 1 1 e + 1 + 1 2 e

S 2 d i r e i t a = e - 1 2 e 2 e e + 1 + e + 1 2 e e + 1 = e - 1 3 e + 1 2 e e + 1

S 2 d i r e i t a = 3 e + 1 e - 1 2 e e + 1 ≅ 0,78

Passo 7

Ele quer agora comparar as duas contas que fizemos com o valor real da área, que seria a integral. Vamos chamar esse valor de A .

Como 1 x é decrescente nesse intervalo vamos ter, como vimos na teoria, que

S 2 e s q u e r d a > A > S 2 d i r e i t a

Se quiséssemos ainda fazer as contas:

A = ∫ 1 e 1 x d x = ln ⁡ x x = 1 x = e = ln ⁡ e - ln ⁡ 1 = 1 - 0 = 1

E, de fato:

S 2 e s q u e r d a > A > S 2 d i r e i t a

e - 1 e + 3 2 e + 1 > A > 3 e + 1 e - 1 2 e e + 1

1,32 > 1 > 0,78

Resposta

A = ∫ 1 e 1 x d x = 1

S 2 e s q u e r d a > A > S 2 d i r e i t a

e - 1 e + 3 2 e + 1 > A > 3 e + 1 e - 1 2 e e + 1

1,32 > 1 > 0,78

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