Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Calcule: lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 4 n 5 i n - 1 3

Passo 1

Devemos tentar escrever esse limite na forma:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 4 n 5 i n - 1 3 = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f a + i Δ x Δ x

Sendo: Δ x = b - a n

Comparando com o limite, temos: Δ x = 4 n

Que é verdade para a = 0 e b = 4 .

Passo 2

Assim sendo, a expressão da função será:

f a + i Δ x = f 4 i n

Sendo x o argumento da função, então:

x = 4 i n ⟹ = i = x n 4

Comprando novamente com o limite e substituindo o valor de i :

f 4 i n = f x = 5 i n - 1 3 = 5 x n 4 n - 1 3 = 5 x 4 - 1 3

Passo 3

Com todos os valores, chegamos a integral:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 4 n 5 i n - 1 3 = ∫ 0 4 5 x 4 - 1 3 d x

Para resolver, podemos fazer a substituição:

u = 5 x 4 - 1

Que resulta em:

d u = 5 4 d x u m i n = - 1 u m a x = 4

Substituindo os valores na integral:

∫ 0 4 5 x 4 - 1 3 d x = 4 5 ∫ - 1 4 u 3 d u = u 4 5 - 1 4 = 256 5

Esse será o valor do limite:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 4 n 5 i n - 1 3 = 256 5

Resposta

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 4 n 5 i n - 1 3 = 256 5

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