Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Descreva o limite que calcula

∫ 0 1 x 3 d x

E prove que

∫ 0 1 x 3 d x = 1 4

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... uma integral nada mais é do que um limite de uma soma de áreas quando estas tendem a 0 .

Sendo assim, a integral dada pode ser representada por:

Obs: seja n o número de partições, temos: Δ x = 1 - 0 n = 1 n

∫ 0 1 x 3 d x = lim n → ∞ ⁡ 1 n * ∑ i = 1 n x n 3

Agora vamos escolher valores para n e aplicar!! 😉

Passo 2

Assim, escolhendo valores grandes para n , temos:

  • Para n = 9 :
  • lim n → ∞ ⁡ 1 9 * ∑ i = 1 9 x 9 3 = 0,308641975

  • Para n = 9 9 :
  • lim n → ∞ ⁡ 1 9 9 * ∑ i = 1 9 9 x 9 9 3 = 0 , 255076013

  • Para n = 99 9 :
  • lim n → ∞ ⁡ 1 9 99 * ∑ i = 1 99 9 x 99 9 3 = 0 , 250500751

  • Para n = 999 9 :

lim n → ∞ ⁡ 1 999 9 * ∑ i = 1 9 999 x 9 999 3 = 0 , 250050008

Dessa forma, observa-se que o resultado se aproxima cada vez mais de 1 4 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 0 1 x 3 d x = lim n → ∞ ⁡ 1 n * ∑ i = 1 n x n 3

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