Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Dada o seguinte limite da soma de Riemann

lim n → + ∞ ⁡ S n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 0 n - 1 2 n 2 3 n + 2 i 3

Transforme na integral equivalente e calcule o valor da integral.

Passo 1

Vamos começar entendendo essa soma de Riemann aí

S n = ∑ i = 0 n - 1 2 n 2 3 n + 2 i 3

Como ela começa em i = 0 e termina em i = n - 1 ela é uma soma pela esquerda, a forma geral da soma pela esquerda é

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 f x i ∙ Δ x

Então temos que comparar um termo dentro do somatório com o outro dentro do outro somatório.

f x i ∙ Δ x = 2 n 2 3 n + 2 i 3

Mas isso só atrapalhou sua vida né? E ainda por cima ele não deu o intervalo de integração, vamos chamar um de a e outro de b , assim escrevemos Δ x e x i em função desses dois carinhas

Δ x = b - a n

E

x i = a + i Δ x

x i = a + i b - a n = n a + i b - a n

Assim vamos ter

f n a + i b - a n ∙ b - a n = 2 n 2 3 n + 2 i 3

Eita confusinho de leve essa bagunça né? Vamos jogar aquele n do denominador para o outro lado multiplicando

f n a + i b - a n ∙ b - a = 2 n 3 3 n + 2 i 3

Dando uma arruma temos

f n a + i b - a n ∙ b - a = 2 n 3 3 n + 2 i 3

f n a + i b - a n ∙ b - a = 2 n 3 n + 2 i 3

Repara que temos um cara ao cubo levemente parecido com o cara dentro de f , se eu invertesse aquela fração dava igual, então vamos arrumar de novo, invertendo a fração e mudando o sinal do expoente

f n a + i b - a n ∙ b - a = 2 3 n + 2 i n - 3

Olha que beleza, se a função f x fosse x - 3 teriamos

n a + i b - a n = 3 n + 2 i n

E

b - a = 2

Vamos com calma agora, isso nos diz que

n a + i 2 n = 3 n + 2 i n

Comparando temos que a = 3 , assim

b - 3 = 2

b = 5

E achamos a , b e a função f x

a = 3

b = 5

f x = x - 3

DICA MAROTA:

Quando tivermos um cara na soma de Riemann com a potência do numerador sendo um a mais ou um a menos que a do denominador é interessante procurarmos f x como algumas funções tipo x n

Passo 2

A nossa integral vai ficar

lim n → + ∞ ⁡ S n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 0 n - 1 2 n 2 3 n + 2 i 3 = ∫ 3 5 x - 3 d x

Vamos ter

∫ 3 5 x - 3 d x = x - 2 - 2 x = 3 x = 5 = - 5 - 2 2 - - 3 - 2 2 = - 1 25.2 + 1 9 . 2 = 1 1 8 - 1 50 = 25 - 9 45 0 = 8 2 25

Resposta

8 2 25

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