Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

Ver Teoria

Enunciado

Utilize a notação sigma para escrever:

f 10 + f 12 + f 14 + f 16

Onde f x = x 2 + 2 2

Passo 1

A notação sigma ou somatório é uma forma da gente expressar uma soma. Tipo assim, suponha que você tenha uma soma a m + a n - m + … a n onde m < n e a são números reais. Se eu quiser representar essa soma, eu vou ter que escrever da seguinte maneira:

∑ i = m n a i = s o m a   d o s   t e r m o s

Note que aqui, uma das primeiras coisas que pode passar na sua mente é: bora calcular logo as f ( x ) e depois aplicar o somatório ou notação sigma. Só que eu te digo que é mais tranquilo que isso, porque você pode representar o valor de x a ser colocado dentro da f ( x ) já como uma notação sigma.

Os valores que temos para x são 10, 12, 14 e 16, ou seja, é sempre somar 2 a cada valor, mas o número seguinte deve ser já duas unidades a mais, então não podemos escrever por exemplo:

a i = ∑ x = 1 0 14 f x + 2

Porque isso tá dizendo pra gente que na verdade teríamos esse somatório aqui:

a i = f 10 + 2 + f 11 + 2 + f 12 + 2 + f 13 + 2 + f ( 14 + 2 )

Que não é o que queremos. Então como resolver isso?

Passo 2

Mas note que podemos manipular nosso somatório, se liga como:

a i = ∑ k = 5 8 f 2 k

a i = ∑ k = 5 8 2 k 2 + 2 2 = ∑ k = 5 8 4 k 2 + 2 2

Resposta

a i = ∑ k = 5 8 4 k 2 + 2 2

Exercícios de Livros Relacionados

Se A é a área sob a curva y = e x de 1 a 3 , use o Exercício 25 para encontrar um valor de n tal que R n - A0,0001 .
(a) Estime a área sob o gráfico de f x = cos ⁡ x de x = 0 até x = π 2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é uma subestimativ
Com uma calculadora programável ou computador (veja as instruções para o Exercício 9 da Seção 5.1), calcule as somas de Riemann esquerda e direita para a função f x = sen ⁡ ( x 2 ) no intervalo [ 0,1
Expresse a integral como um limite de somas. Depois, calcule, usando um sistema de computação algébrica para encontrar a soma e o limite.∫ 2 10 x 6 d x
Encontre uma aproximação para a integral ∫ 0 4 x 2 - 3 x d x usando uma soma de Riemann com as extremidades direitas e n = 8 . (b) Faça um diagrama como a Figura 3 para ilustrar a aproximação da parte