Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

8. Em cada item é dado um somatório de n parcelas. Determine um intervalo [ a ,   b ] e uma função f   :   [ a ,   b ]   →   R tais que o somatório dado seja a soma de Riemann de f com n subintervalos e com pontos amostrais nas extremidades direitas desses subintervalos.

a) ∑ k = 1 n 5 + 2 k n 10 ∙ 2 n

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos detectar a função f ( x ) :   [ a , b ] e o intervalo [ a , b ] da soma de Riemann dada.

Lembremos que, para uma soma de Riemann de n subintervalos e pontos amostrais na extremidade direita dos intervalos vamos ter:

∑ k = 1 n f ( x k + 1 ) ( x k - x k - 1 ) =   ∑ k = 1 n f x k b - a n

Observemos que o valor dos intervalos ( x k - x k - 1 ) é o mesmo sempre e se iguala a b - a n ,   dessa forma podemos dizer:

x k - x k - 1 =   b - a n

x k =   b - a n   +   x k - 1

De certo que, se quisermos x k + 1   só precisamos adicionar mais b - a n , então podemos afirmar, para k = 1:

x 1 =   b - a n   +   x 0

E podemos prosseguir:

x 2 =   2 b - a n   +   x 0

.

.

.

x n =   n b - a n   +   x 0

Percebemos que x n = b e   x 0 = a , basta desenvolver o produto e reorganizar os termos que a igualdade surge:

x n -     x 0 = b - a

Por fim, podemos reescrever ∑ k = 1 n f x k b - a n     como ∑ k = 1 n f x 0 + k b - a n b - a n

Calma, kkk, parece complicado, mas vou mostrar que agora as coisas vão ficar mais simples

Passo 2

Após, essa nossa densa introdução, vamos para as contas de fato. Desse modo, nós temos

∑ k = 1 n f x 0 + k b - a n b - a n = ∑ k = 1 n 5 + 2 k n 10 ∙ 2 n

Fazendo uma breve comparação, nós vemos que

f x 0 + k b - a n = 5 + 2 k n 10 ⇒ f x = x 10

b - a n =   2 n ⇒ b - a = 2

Logo, para escolher nosso intervalo [ a , b ] basta que eles obedeçam à equação acima. Assim, podemos, por exemplo, escolher a = 0 e ter b = 2, ou a = 1 e b = 3, e assim sucessivamente.

Aqui vamos escolher o intervalo mais simples a , b = [ 0,2 ] .

Viu? No final a escolha foi mais simples do que parecia. É isso pessoal, até a próximaa!!😉😉

Resposta

a) [ a ,   b ]   =   [ 0 ,   2 ]   e   f ( x )   =   x 10

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