Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Seja f : a , b → R não negativa e considere α a área entre o gráfico de f e o eixo das abscissas. Sejam E e D duas somas de Riemann para f no intervalo [ a , b ] , sendo E com pontos amostrais nas extremidades esquerdas dos subintervalos de [ a , b ] e D com pontos amostrais nas extremidades nas extremidades direitas dos subintervalos de [ a , b ] .

  1. Coloque α ,   E e D em ordem crescente, sabendo que f é crescente
  2. Coloque α , E e D em ordem crescente, sabendo que f é decrescente.

Passo 1

Esse tipo de problema exige da gente mais conhecer a teoria do que qualquer coisa, então bora que bora!

Vamos primeiro analisar o caso de uma função crescente no intervalo [ a , b ] . Se a função é crescente, já podemos dizer que f b > f ( a ) , beleza? Guarda essa informação.

Portanto se eu dividir esse intervalo em vários subintervalos, a , a + Δ x ,   a + Δ x ,   a + 2 Δ x … [ a + n Δ x ,   b ] , a gente sabe que por essa função ser uma função crescente, os pontos amostrais tomados na esquerda sempre serão menores que os pontos amostrais tomados na direita, ou seja, f E < f ( D )

Então se α é a área do gráfico e sabendo que pela soma de Riemann a área do gráfico deve ser igual a soma das f ( p o n t o s   a m o s t r a i s ) multiplicado pelo Δ x , temos que:

S n E = ∑ i n f E n Δ x

S n D = ∑ i n f D n Δ x

Para uma função crescente, temos necessariamente que S n D > S n E

Logo, temos:

E ≤ α ≤ D

Passo 2

Para função decrescente, basta pensarmos ao contrário, temos que f b < f ( a ) , logo

S n E < S n D

Tendo como resultado:

D ≤ α ≤ E

Resposta

  1. E ≤ α ≤ D
  2. D ≤ α ≤ E

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