Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Calcule as integrais impróprias abaixo:

  1. ∫ 0 ∞ d x 1 + x 2

Passo 1

Gostaria de te fazer uma pergunta, você sabe o que é o infinito? Sabe contar até o infinito?

Complicado né, bem amiguinho o conceito de integral imprópria é um conceito na qual você soma infinitos pedacinhos.

isso aí, o conceito de integral é uma espécie de soma chamada soma de Riemann. Então quando você tem algo desse tipo aqui:

∫ 0 ∞ f x d x

Você está somando pedacinhos da primitiva dá f ( x ) de 0 até . Então, você deve sacar que somar infinitos pedacinhos dessa primitiva. Então analisar isso de forma direta é complicado, mas temos uma sacadinha moral...

Então precisamos de uma maneira alternativa de somar essa soma, e já temos um conceito legal para fazer isso. Esse conceito é o conceito de limites, ou seja, vamos analisar o que acontece com essa soma quando ela se aproxima do infinito. Sendo assim, a nossa formulinha para resolver essa integral é algo assim:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A f x d x

Iae sacou? Toda vez que tiver uma integral dessa forma, chamada integral impropria vamos trocar o infinito por alguma letra qualquer e colocar a integral dentro de um limite dessa forminha.

Passo 2

Bem pessoal, vamos partir da formulinha da integral dada na questão que é essa aqui:

∫ 0 ∞ d x 1 + x 2

E para resolver vamos precisar colocar naquela formulinha com o limite deixando da seguinte forma:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A 1 1 + x 2 d x

Agora precisamos lembrar da seguinte primitiva:

∫ d x 1 + x 2 = a r c o t a n g e n t e x + C

Logo a nossa integral ficaria:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A 1 1 + x 2 d x = lim A →  ∞ ⁡ a r c o t a n g e n t e ( x ) A 0

Aplicando os limites de integração e resolvendo os limites temos que:

lim A →  ∞ ⁡ a r c o t a n g e n t e A - a r c o t a n g e n t e ( 0 ) = π 2

Resposta

∫ 0 ∞ d x 1 + x 2 = π 2

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