Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Seja A a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo x, superiormente pela função f ( x )   =   x 2 + 1 , à esquerda pela reta x = 1 e à direita pela reta x = 3 .

(g) Coloque em ordem crescente as respostas dos itens (b) a (f).

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Ela é uma continuação, então vamos recapitular o que sabemos até aqui: fizemos o esboço da região delimitada pelas curvas

R : f x = x 2 + 1 x = 1 ,   x = 3 y = 0   ( e i x o   x )

A área A é a área correspondente à essa região. E podemos escrever em termos de uma integral:

A = ∫ 1 3 [ x 2 + 1 ] d x = 10,66

Esse valor foi obtido integrando a função e aplicando os limites. Esse é o valor exato da área e foi encontrado no item (b).

Nos itens seguintes, o problema pediu para estimar essa região de 4 formas diferentes:

  • Pela soma de Riemann pela esquerda e pela direita dividindo em 2 esse intervalo
  • E pela soma de Riemann, também pela esquerda e pela direita, mas agora dividindo em 4 partes iguais esse intervalo

A soma de Riemann pela esquerda é calculada quando usamos o valor da função f ( x ) no ponto mais à esquerda do intervalo como a altura dos retângulos. Quando dividimos a região em 2 (letra (c) do exercício) ficou assim:

E em 4 (letra (e) do exercício) ficou assim:

Note que nesses dois exemplos a estimativa da área é subestimada, pois sobram espaços em branco acima dos retângulos (e abaixo da curva verde) para serem adicionados à área. Por isso dizemos que a soma de Riemann pela esquerda é uma estimativa subestimada.

Nesses dois encontramos os respectivos valores para a área:

l e t r a   c : 6

l e t r a   e : 8,75

Embora a letra (e) chegue mais perto, sendo uma estimativa melhor, ela está aquém do valor real de 10,66 encontrado quando resolvemos a integral.

Passo 2

Agora vamos ver quando usamos a soma de Riemann pela direita! Agora a altura dos retângulos vai ser o valor da função no extremo direito do intervalo. Quando dividimos o intervalo em 2 (letra (d)) ficou assim:

E quando dividimos em 4 esse intervalo (letra (f) do exercício):

Note que nesses dois casos a área dos retângulos é maior do que a área embaixo da curva, por isso chamamos essa estimativa de superestimada. Os resultados obtidos respectivamente foram:

l e t r a   d : 16

l e t r a   f : 12,75

Quanto maior é o número de retângulos, melhor é a estimativa. Mas como estamos aproximando pela direita, será sempre uma estimativa superestimada

Passo 3

Agora nessa letra o problema nos pede para colocar em ordem crescente os resultados:

  • Letra c: Soma de Riemann pela esquerda (2 divisões): A = 6
  • Letra e: Soma de Riemann pela esquerda (4 divisões): A = 8,75
  • Letra b: área exata: A = 10,66
  • Letra d: Soma de Riemann pela direita (4 divisões): A = 12,75
  • Letra f: Soma de Riemann pela direita (2 divisões): A = 16

Assim a ordem correta das letras em ordem crescente é: (c), (e), (b), (d), (f)

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

(c), (e), (b), (d), (f)

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