Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Use a soma de Riemann centrado no ponto médio para achar as aproximações da integral

∫ 0 1 s e n x d x

n = 4

Passo 1

Alô Alô, terráqueo, aqui quem fala é o povo da Soma de Riemann! Nunca ouviu falar da técnica do ponto médio? Fica tranquilo, vou te explicar!

Já sabemos que a Soma de Riemann é uma forma de aproximar ao valor da integral:

∫ 0 1 s e n x d x = lim n → ∞ ⁡ S n

Mas ao invés de n se aproximar de infinito, vamos usar o valor igual a 4 :

n = 4

Pelo fato de termos que usar a Soma de Reimann centrada no ponto médio, temos que usar a fórmula específica de somatório:

S n = f x 1 m ⋅ ∆ x + f x 2 m ⋅ ∆ x + f x 3 m ⋅ ∆ x + x 4 m ⋅ ∆ x

Onde

∆ x = b - a n

x i m = a + i ⋅ ∆ x - ∆ x 2

Parece complicado? Não se preocupa que tudo vai ficar claro ao longo do nosso exercício!

Passo 2

Vamos começar separando cada um dos dados, já sabemos desde o enunciado que:

n = 4

Pela integral, os extremos do intervalo são:

b = 1

a = 0

Concorda comigo que já podemos calcular o valor de ∆ x :

∆ x = b - a n

Aplicando nossos valores:

∆ x = b - a n = 1 - 0 4 = 0,25

E podemos calcular o valor de sua metade:

∆ x 2 = 0,25 2 = 0,125

Enquanto temos n = 4 , então teremos 4 valores de x :

x i m = a + i ⋅ ∆ x - ∆ x 2

Variando o valor de i de 1 até 4 :

x 1 m = 0 + 1 ⋅ 0,25 - 0,125 = 0 , 125

x 2 m = 0 + 2 ⋅ 0,25 - 0,125 = 0 , 37 5

x 3 m = 0 + 3 ⋅ 0,25 - 0,125 = 0 , 62 5

x 4 m = 0 + 4 ⋅ 0,25 - 0,125 = 0 , 87 5

Passo 3

Podemos também calcular o valor de f ( x i ) usando a expressão dada na integral:

∫ 0 1 s e n x d x → f x i m = s e n ( x i m )

Aplicando cada um de nossos valores de x i :

f x 1 m = s e n ( x 1 m ) → f 0,125 = s e n ( 0,125 )

f 0 , 1 25 = 0,002

f x 2 m = s e n ( x 2 m ) → f 0,375 = s e n ( 0,375 )

f 0,375 = 0,007

f x 3 m = s e n ( x 3 m ) → f 0 , 625 = s e n ( 0 , 62 5 )

f 0 , 62 5 = 0,0 11

f x 4 m = s e n ( x 4 m ) → f 0 , 875 = s e n ( 0 , 87 5 )

f 0 , 8 75 = 0,0 15

Passo 4

A fórmula do nosso somatório para a Soma de Riemann centrado no ponto médio é:

S n = f x 1 m ⋅ ∆ x + f x 2 m ⋅ ∆ x + f x 3 m ⋅ ∆ x + x 4 m ⋅ ∆ x

Relembrando nossos valores que levantamos até aqui:

∆ x = 0,25

f x 1 m = 0,002

f x 2 m = 0,007

f x 3 m = 0,011

f x 4 m = 0,015

Aplicando em nosso somatório:

S n = [ 0,002 ⋅ 0,25 ] + [ 0,007 ⋅ 0,25 ] + [ 0,011 ⋅ 0,25 ] + [ 0,015 ⋅ 0,25 ]

Vamos calcular esses produtos:

S n = 0,0005 + 0,0018 + 0,0028 + 0,0038

S n = 0,0089

Então encontramos a aproximação da integral pela Soma de Riemann centrado no ponto médio:

∫ 0 1 s e n x d x ≈ S n = 0,0089

Uhul, que arraso de questão! Te vejo em outras pra praticar mais!

Resposta

∫ 0 1 s e n x d x ≈ 0,0089

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