Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Interprete ∑ j = 1 n 3 n 2 + 3 j n 7 como uma soma de Riemann e calcule seu limite quando n vai ao infinito.

Passo 1

Nós temos, por definição, que:

lim n → ∞ ⁡ ∑ j = 1 n 3 n 2 + 3 j n 7 = lim n → ∞ ⁡ ∑ j = 1 n f ( x i ) ∆ x = ∫ a b f x d x

Onde podemos reconhecer que ∆ x = b - a n = 3 n e f x i = f ( a + j ∆ x ) = 2 + 3 j n 7 , por analogia em relação à equação geral da soma de Riemann. Concluímos, com as duas equações, que a = 2 e b = a + 3 = 5 .

Agora basta descobrir qual será a função que vamos integrar. Olha, ali nosso a + j ∆ x é:

2 + 3 j n

Ele está elevado à 7 no caso. Então, se f ( a + j ∆ x ) = 2 + 3 j n 7 , temos que f x = x 7 .

Passo 2

Enfim, conclui-se:

lim n → ∞ ⁡ ∑ j = 1 n 3 n 2 + 3 j n 7 = ∫ 2 5 x 7 d x

= ∫ 2 5 x 7 d x

= x 8 8 x = 2 x = 5

= 5 8 - 2 8 8 = 48796,125

Obs: Pode deixar o resultado como 5 8 - 2 8 8 mesmo, a conta é grande x)

Resposta

lim n → ∞ ⁡ ∑ j = 1 n 3 n 2 + 3 j n 7 = 5 8 - 2 8 8

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