Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Seja

f x = ∫ 1 x 1 t 2 d t

( a ) Calcule f ( x ) resolvendo a integral.

( b ) Calcule o limite:

lim x → ∞ ⁡ ∫ 1 x 1 t 2 d t

( c ) Usando soma de Riemann, verifique que ∑ k = 2 n 1 k 2 < ∫ 1 n 1 x 2 d x .

( d ) Explique porque podemos dizer que existem os limites quando n vai ao infinito de ∑ k = 2 n 1 k 2 e de ∑ k = 1 n 1 k 2 .

Passo 1

( a ) Calculamos a seguinte integral:

∫ 1 x 1 t 2 d t = ∫ 1 x t - 2 d t

= t - 1 - 1 [ x 1

= - 1 t [ x 1

= - 1 x - - 1 1

= 1 - 1 x

Esse é o valor de f ( x ) .

Passo 2

( b ) Para calcular o limite pedido é interessante que a gente já escreva a integral que calculamos no item ( a ) e, então, analisemos o limite:

lim x → ∞ ⁡ ∫ 1 x 1 t 2 d t = lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 x

= 1 - 1 ∞

= 1 - 0

= 1

Passo 3

(c)Ele quer verificar a seguinte igualdade

∑ k = 2 n 1 k 2 < ∫ 1 n 1 x 2 d x

Como comparamos uma integral com um somatório? Comparando com a soma de Riemann.

Ele deu a função, que no casso vai ser

f x = 1 x 2

Ele deu o intervalo que vai ser

a = 1

b = n

A questão é ele quer a soma que vai por baixo, mas qual delas vai ser? A Pela direita ou pela esquerda? Como 1 x 2 é decrescente a soma que é menor que a integral é a Soma pela direita.

S n d i r e i t a = ∑ k = 1 N f x k ∙ Δ x

Troquei o habitual i por k para ficar parecido com o somatório que ele tem ali.

Onde N é o número de retângulos, que ainda não sabemos quanto é, normalmente usamos n como está na fórmula, mas vamos deixar assim por enquanto porque pode não ser bem assim, queremos um cara que a soma de Riemann bata certinho com aquela que temos, então talvez seja interessante pegar algo diferente de n .

Tem algo de estranho nessa parada toda, olha a soma que ele quer

∑ k = 2 n 1 k 2

E olha como é a soma pela direita

∑ k = 1 N f x k ∙ Δ x

Então, para manter esse somatório igual, temos que deslocar todos os valores de k em uma unidade, desde k = 1 até k = N . Assim k começa no 2

Fica atento num detalhe, queremos continuar tendo a soma começando com f x 1 e depois f x 2 e por aí vai, como agora o k vai começar em 2 devemos pegar x k - 1 para que o primeiro cara seja x 1 e assim o somatório continuar sendo igual.

O novo somatório vai ficar

∑ k = 2 N + 1 f x k - 1 ∙ Δ x

Beleza, vamos compara agora

∑ k = 2 N + 1 f x k - 1 ∙ Δ x = ∑ k = 2 n 1 k 2

Isso nos diz que

N + 1 = n

N = n - 1

Agora podemos achar Δ x

Δ x = n - 1 n - 1 = 1

Além disso podemos achar x k + 1

x k - 1 = a + k - 1 Δ x

x k - 1 = 1 + k - 1 ∙ 1

x k - 1 = k

Assim vamos ter

S n d i r e i t a = ∑ k = 1 N f x k ∙ Δ x = ∑ k = 2 n 1 k 2

Então aquele cara da desigualdade é a Soma de Riemann pela direta.

Passo 4

Sabemos que a soma de Riemann pela direta, quando temos uma função decrescente é sempre menor que o valor da integral, Então

S n D i r e i t a < ∫ 1 n 1 x 2 d x

Como vimos, de forma levemente tensa e difícil, a soma pela direita é

S n D i r e i t a = ∑ k = 2 n 1 k 2

Isso nos diz a desigualdade que ele queria

∑ k = 2 n 1 k 2 < ∫ 1 n 1 x 2 d x

Passo 5

(d)

Já vimos que

∑ k = 2 n 1 k 2

É a Soma de Riemann pela direita, se fizermos o limite disso ele vai dar exatamente a integral, então

lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 2 n 1 k 2 = ∫ 1 n 1 x 2 d x

Já calculamos aquela integral,

lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 2 n 1 k 2 = ∫ 1 n 1 x 2 d x = 1 - 1 n

Logo ele converge.

Passo 6

Vamos ao outro limite

∑ k = 1 n 1 k 2

Repara que isso é o mesmo que

1 1 2 + ∑ k = 2 n 1 k 2 = 1 + ∑ k = 2 n 1 k 2 = 1 + 1 - 1 x = 2 - 1 x

Ou seja também converge.

Resposta

a   1 - 1 x

b   1

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