Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Dada o seguinte limite da soma de Riemann

lim n → + ∞ ⁡ S n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n n 4 i 5

Transforme na integral equivalente e calcule o valor da integral no intervalo 0,1 .

Passo 1

Temos que comparar aquela soma de Riemann com a fórmula da soma de Riemann para acharmos a , b e f x para podermos fazer a integral.

Ele deu no intervalo de integração, então temos

a = 0

b = 1

E

Δ x = 1 - 0 n = 1 n

Passo 2

Vamos agora comparar o termo geral daquele somatório com o termo geral da soma de Riemann

f a + i Δ x ∙ Δ x = n 4 i 5

Trocando os valores que temos

f 0 + i n ∙ 1 n = n 4 i 5

f i n = n 5 i 5

Vamos fazer

x = i n → i = x n

f x = n 5 x 5 n 5 = 1 x 5

Agora temos a nossa f x

Passo 3

Ufa, coisa a vera, mas achamos o valor da função, agora é só integrar e correr para o abraço

lim n → + ∞ ⁡ S n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5 = ∫ 0 1 1 x 5 d x

A integral vai ficar

∫ 0 1 1 x 5 d x = ∫ 0 1 x - 5 d x = - x - 4 4 x = 0 1 = - 1 4 - 0 = - 1 4

Resposta

- 1 4

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