Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Seja f x = x 3 + 3 x - 1 .

a) Calcule a soma de Riemann para f x , no intervalo 0 ,   4 com 8 partições, tomando como pontos amostrais os extremos direitos.

b) Calcule ∫ 0 4 f x   d x .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Nesse problema vamos brincar um pouco com somas de Riemann e integrais. Vamos começar pela primeira...

Aqui vai um lembrete do que é uma soma de Riemann:

S = ∑ i f x i   Δ x i

Basicamente, o que fazemos é quebrar o intervalo 0 ,   4 em pedaços (partições) e para cada intervalinho pegar um ponto amostral x i , calcular o valor da função f x i nesse ponto e daí multiplicar pelo comprimento do intervalo Δ x i . Por fim, basta somar todos esses produtos. No limite de Δ x i → 0 (isto é, o número de intervalos tender para infinito), essa soma vira uma integral!

Nesse problema, temos que quebrar o intervalo 0 ,   4 em 8 intervalos:

0 , 1 2 ,     1 2 , 1 ,           1 , 3 2 ,           3 2 ,   2 ,             2 , 5 2 ,             5 2 ,   3 ,             3 , 7 2         e         7 2 , 4

O comprimento de cada um desses intervalos é

Δ x = 1 2

Além disso, como os pontos amostrais são os extremos direitos (está no enunciado), temos que

x 1 = 1 2 ,               x 2 = 1 ,               x 3 = 3 2 ,                 x 4 = 2 ,             x 5 = 5 2 ,               x 6 = 3 ,             x 7 = 7 2         e         x 8 = 4

A soma de Riemann será dada por

S = ∑ i = 1 8 f x i   Δ x i = ∑ i = 1 8 f x i ⋅ 1 2 = 1 2 ∑ i = 1 8 f x i

Ou ainda,

S = 1 2 f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 + f x 5 + f x 6 + f x 7 + f x 8

Passo 2

Precisamos saber o valor da função em cada um desses pontos:

f x 1 = f 1 2 = 1 2 3 + 3 ⋅ 1 2 - 1 = 5 8

f x 2 = f 1 = 1 3 + 3 ⋅ 1 - 1 = 3

f x 3 = f 3 2 = 3 2 3 + 3 ⋅ 3 2 - 1 = 55 8

f x 4 = f 2 = 2 3 + 3 ⋅ 2 - 1 = 13

f x 5 = f 5 2 = 5 2 3 + 3 ⋅ 5 2 - 1 = 177 8

f x 6 = f 3 = 3 3 + 3 ⋅ 3 - 1 = 35

f x 7 = f 7 2 = 7 2 3 + 3 ⋅ 7 2 - 1 = 419 8

f x 8 = f 4 = 4 3 + 3 ⋅ 4 - 1 = 75

Logo,

S = 1 2 5 8 + 3 + 55 8 + 13 + 177 8 + 35 + 419 8 + 75

S = 1 2 596 8 + 126 = 1 2 149 2 + 126 = 1 2 ⋅ 401 2

Portanto,

S = 401 4 = 100,25

Passo 3

No item (b), temos que fazer a integral para comparar com a soma de Riemann:

I = ∫ 0 4 f x   d x = ∫ 0 4 x 3 + 3 x - 1   d x

Fazendo a primitiva:

I = x 4 4 + 3 x 2 2 - x 0 4

Substituindo os limites de integração:

I = 4 4 4 + 3 2 ⋅ 4 2 - 4 - 0 = 4 3 + 3 2 ⋅ 16 - 4

Portanto,

I = 84

Vemos que o valor da soma de Riemann não está tão longe da integral...

Resposta

S = 401 16 = 100,25

I = ∫ 0 4 f x   d x = 84

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