Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Em cada item são dados um intervalo [a,b] e uma função f : a , b → R . Determine E n e D n , respectivamente, as somas de Riemann com n subintervalos (de mesmo tamanho) para f no intervalo [a,b], sendo E n com pontos amostrais nas extremidades esquerdas dos subintervalos e D n com pontos amostrais nas extremidades direitas dos subintervalos.

a , b = [ 0 , 1 ] e f x = 2 x

Passo 1

Vamos precisar calcular nosso E n   e D n que são as somas de Riemann. E como bem sabemos essa soma é dada pela equação:

S n = ∑ x = i n f ( x ) × Δ x

Vamos iniciar fazendo o nosso intervalo Δ x com n subdivisões:

Δ x = 1 - 0 n = 1 n

Vamos chamar n = 2 , ou seja, vamos dividir em 2 subintervalos, logo Δ x = 1 2

0 ,   1 2 ,   1 2 , 1  

Passo 2

Vamos tomar agora os pontos amostrais sendo E n de extrema esquerda e D n de extrema direita, logo:

E n = 2 0 × 1 2 + 2 1 2 × 1 2

E n = 1 + 2 2 = 2 + 2 2

Agora, vamos fazer com o extremo direito

D n = 2 1 2 × 1 2 + 2 × 1 2 = 2 2 + 1 = 2 + 2 2

Resposta

E n = D n = 2 + 2 2 , n = 2

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