Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Seja f   :   [ a ,   b ]   → R uma função contínua. Considere m e M os valores máximo e mínimo de f em [ a ,   b ] , respectivamente.

  1. Use as propriedades da integral para verificar que:
  2. ∫ a b m d x ≤ ∫ a b f x d x ≤   ∫ b a M d x  

  3. Usando o Teorema do Valor Intermediário, conclua que existe c   ∈   [ a ,   b ] tal que
  4. f c = 1 b - a   ∫ a b f x d x

  5. Usando o mesmo raciocínio mostre que, se p   :   a ,   b → R é uma função não negativa tal que ∫ a b p x d x > 0 , então existe c   ∈ [ a , b ] tal que:

f c = ∫ a b f x p x d x ∫ a b p x d x

Passo 1

Olá galerinha do Responde Aí, está tudo ok?

Aqui temos uma questão de introdução aos conceitos da terrível integral. E aí, prontinho?

Relaxa, precisa ficar tristinho não. Aqui temos uma questão puramente dedutiva, algo mais abstrato, não é muito comum ver em prova não.

Todos os conceitos que precisaremos está escrito no enunciado da questão. Com exceção de um que é a soma de Riemann que é definido pela seguinte expressão:

∑ i = 1 n f x i Δ x i   =   ∫ a b f x d x     t a l   q u e   x ∈ [ a , b ]

Enfim, vamos colocar a mão na massa? Assim esses conceitos vão ficar mais concretos.

Bem, vamos lá. É você que manda.

Passo 2

Primeiramente, precisamos mostrar que:

∫ a b m d x ≤ ∫ a b f x d x ≤   ∫ b a M d x  

Para resolver a primeira alternativa vamos utilizar a seguinte informação:

f :   [ a ,   b ]   → R uma função contínua

Sendo assim, temos que o domínio da função está entre os elementos de [ a , b ] fechado, logo:

a < x 0 < x 1 < x 2 < … < x n < b

Tomando um c i ∈ [ x i - 1 , x i ] para ∀ i ∈ N . Podemos escrever a seguinte inequação que:

∑ i = 1 n m Δ x i ≤ ∑ i = 1 n f c i Δ x i ≤ ∑ i = 1 n M Δ x i

Sendo m , M pontos de máximo e mínimo da função. Aplicando o limite com n →   ∞ chegamos na soma de Riemann, que é dado por:

∑ i = 1 n m Δ x i ≤     ∑ i = 1 n f x i Δ x i ≤     ∑ i = 1 n M Δ x i    

Normalmente, nos livros chamamos essa soma por um nome legal que é a integral e escrevemos da seguinte forma:

∫ a b m d x ≤ ∫ a b f x d x ≤   ∫ b a M d x    

Prontinho 😊

Passo 3

No item b) queremos mostrar que existe um número c no intervalo a , b ,   que obedece:

f c = 1 b - a   ∫ a b f x d x

Para resolver essa letra precisaremos da igualdade demonstrada na alternativa a ) que é:

∫ a b m d x ≤ ∫ a b f x d x ≤   ∫ b a M d x  

Já que M , m são valores constantes podemos resolver as integrais dos extremos chegando na seguinte igualdade:

m ( b - a ) ≤ ∫ a b f x d x ≤   M ( b - a )

Como temos que b - a > 0 , podemos reescrever a seguinte inequação:

m ≤ 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x ≤   M

O teorema do valor intermediário afirma que f assume todos os valores possíveis entre dois de quaisquer de seus valores, logo podemos afirmar que existe:

f c i   ,       ∀ c i ∈ x i - 1 ,     x i   t a l   q u e   f c i ∈ [ f x i - 1 ,   f ( x i ) ]

Portanto como M ,   m são dois valores extremos de f e como 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x   está entre esses dois valores, deve existir um número c ∈ [ a , b ] tal que:

f c = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

Passo 4

Pra finalizar nossa questãozita, queremos provar que novamente existe um c , que obedece:

f c = ∫ a b f x p x d x ∫ a b p x d x

Partindo da seguinte inequação demonstrada antes:

∑ i = 1 n m Δ x i ≤ ∑ i = 1 n f c i Δ x i ≤ ∑ i = 1 n M Δ x i

Podemos modificá-la e deixar da seguinte forma:

∑ i = 1 n m p ( x i ) Δ x i ≤ ∑ i = 1 n f c i p ( x i ) Δ x i ≤ ∑ i = 1 n M p ( x i ) Δ x i

Passando os limites com n →   ∞ , chegamos na seguinte expressão:

∑ i = 1 n m p ( x i ) Δ x i ≤     ∑ i = 1 n f x i p ( x i ) Δ x i ≤     ∑ i = 1 n M p ( x i ) Δ x i    

Concluindo que chegamos novamente nas somas de Riemann, que tem como uma notação mais comum a seguinte forma:

∫ a b m p ( x i ) d x ≤   ∫ a b f ( x ) p ( x i ) d x ≤   ∫ a b M p ( x i ) d x  

Como a questão nos informa que ∫ a b p x d x > 0 podemos reorganizar a inequação acima da seguinte forma:

m ∫ a b p ( x i ) d x ≤   ∫ a b f ( x ) p ( x i ) d x ≤   M ∫ a b p ( x i ) d x  

Consequentemente:

m ≤ ∫ a b f x p x i d x   ∫ a b p x d x ≤ M

Utilizando o teorema do valor intermediário igual a alternativa anterior temos que:

f c = ∫ a b f x p x i d x   ∫ a b p x d x

Ufaaa! Conseguimos!! É isso pessoal, espero que vocês tenham entendido tudinho. Até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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