Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Use a soma de Riemann com extremos a direita e n = 8 para achar uma aproximação da integral

∫ 0 5 x 2 - 3 x

Passo 1

Fala aí, amigão! Você está nesse ponto da caminhada, aprendendo sobre como encontrar o valor da integral pela soma de Riemann, você encontrou o par perfeito, porque vou te explicar tudo que você precisa saber!

Nessa questão queremos aproximar a integral por um somatório!

∫ 0 5 x 2 - 3 x = lim n → ∞ ⁡ S n

Começando por um detalhe muito importante, o enunciado disse que quer que usemos a Soma de Riemann pela direita!

Mas o que isso significa? Significa que temos que usar a fórmula específica de somatório:

S n = f x 1 ⋅ ∆ x + f x 2 ⋅ ∆ x + … + f x n ⋅ ∆ x

Onde

∆ x = b - a n

x i = a + i ⋅ ∆ x

Mas veja que o enunciado também disse que vamos usar um número de divisões do intervalo igual a n = 8 .

Parece complicado? Não se preocupa que tudo vai ficar claro ao longo do nosso exercício!

Passo 2

Vamos começar separando cada um dos dados, já sabemos desde o enunciado que:

n = 8

Pela integral, os extremos do intervalo são:

b = 5

a = 0

Concorda comigo que já podemos calcular o valor de ∆ x :

∆ x = b - a n

Aplicando nossos valores:

∆ x = b - a n = 5 - 0 8 = 0,625

Enquanto temos n = 8 , então teremos 8 valores de x :

x i = a + i ⋅ ∆ x

Variando o valor de i de 1 até 8 :

x 1 = 0 + 1 ⋅ 0,625 = 0,625

x 2 = 0 + 2 ⋅ 0,625 = 1,250

x 3 = 0 + 3 ⋅ 0,625 = 1,875

x 4 = 0 + 4 ⋅ 0,625 = 2,500

x 5 = 0 + 5 ⋅ 0,625 = 3,125

x 6 = 0 + 6 ⋅ 0,625 = 3,750

x 7 = 0 + 7 ⋅ 0,625 = 4,375

x 8 = 0 + 8 ⋅ 0,625 = 5,000

Passo 3

Podemos também calcular o valor de f ( x i ) usando a expressão dada na integral:

∫ 0 5 x 2 - 3 x → f x i = x i 2 - 3 x i

Aplicando cada um de nossos valores de x i :

f x 1 = x 1 2 - 3 x 1 → f 0,625 = 0,625 2 - 3 ⋅ 0,625

f 0,625 = 0,391 - 1,875 = - 1,484

f x 2 = x 2 2 - 3 x 2 → f 1,250 = 1,250 2 - 3 ⋅ 1,250

f 1,250 = 1,563 - 3,750 = - 2,187

f x 3 = x 3 2 - 3 x 3 → f 1,875 = 1 , 875 2 - 3 ⋅ 1 , 875

f 1 , 875 = 3,516 - 5,625 = - 2,1 09

f x 4 = x 4 2 - 3 x 4 → f 2,500 = 2,500 2 - 3 ⋅ 2 , 50 0

f 2 , 5 0 0 = 6,25 - 7,5 = - 1,25

f x 5 = x 5 2 - 3 x 5 → f 3,125 = 3,125 2 - 3 ⋅ 3,125

f 3,125 = 9,766 - 9,375 = 0,391

f x 6 = x 6 2 - 3 x 6 → f 3,750 = 3 , 7 50 2 - 3 ⋅ 3 , 7 50

f 3 , 7 50 = 14,063 - 11,250 = 2,813

f x 7 = x 7 2 - 3 x 7 → f 4,375 = 4 , 3 75 2 - 3 ⋅ 4 , 3 75

f 4 , 3 75 = 1 9,141 - 1 3,125 = 6,016

f x 8 = x 8 2 - 3 x 8 → f 5,000 = 5,000 2 - 3 ⋅ 5,000

f 5 , 00 0 = 25,000 - 15,000 = 10,000

Passo 4

A fórmula do somatório para a Soma de Riemann pela direita é conhecida como:

S n = f x 1 ⋅ ∆ x + f x 2 ⋅ ∆ x + … + f x n ⋅ ∆ x

Em nosso caso, como o número de parcelas é n = 8 :

S n = f x 1 ⋅ ∆ x + f x 2 ⋅ ∆ x + f x 3 ⋅ ∆ x + f x 4 ⋅ ∆ x + f x 5 ⋅ ∆ x + f x 6 ⋅ ∆ x + f x 7 ⋅ ∆ x + f x 8 ⋅ ∆ x

Os nossos valores para cada uma das parcelas é:

∆ x = 0,625

f x 1 = - 1,484

f x 2 = - 2,187

f x 3 = - 2,109

f x 4 = - 1,25

f x 5 = 0,391

f x 6 = 2,813

f x 7 = 6,016

f x 8 = 10,000

Aplicando em nosso somatório:

S n = [ - 1,484 ⋅ 0,625 ] + [ - 2,187 ⋅ 0,625 ] + [ - 2,109 ⋅ 0,625 ] + [ - 1,25 ⋅ 0,625 ] + [ 0,391 ⋅ 0,625 ] + [ 2,813 ⋅ 0,625 ] + [ 6,016 ⋅ 0,625 ] + [ 10 ⋅ 0,625 ]

Vamos calcular esses produtos:

S n = - 0,928 + - 1,367 + - 1,318 + - 0,781 + 0,244 + 1,758 + 3,76 + 6,25

S n = 7,618

Então encontramos a aproximação da integral pela Soma de Riemann pela direita:

∫ 0 5 x 2 - 3 x ≈ S n = 7,618

Uhul, que arraso de questão! Te vejo em outras pra praticar mais!

Resposta

∫ 0 5 x 2 - 3 x ≈ 7,618

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