Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

c Calcule o limite quando n vai ao infinito de:

∑ i = 1 n cos ⁡ π 2 + i π 2 n n

Passo 1

Nesse tipo de soma, sabemos que o limite quando n → ∞ vai para alguma integral. Só não sabemos de que função é essa integral, assim como seus limites de integração:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n cos ⁡ π 2 + i π 2 n n = ∫ a b ? d x

Agora, podemos reconhecer alguns termos nessa soma. Fazemos um paralelo dela com uma soma qualquer:

∑ i = 1 n cos ⁡ π 2 + i π 2 n n = ∑ i = 1 n f x i ∆ x

Onde f x i = f a + i ∆ x e ∆ x = b - a n , sendo b o limite superior de integração e a o inferior.

Passo 2

Podemos fazer o seguinte:

2 π ∑ i = 1 n π 2 n cos ⁡ π 2 + i π 2 n = ∑ i = 1 n f a + i ∆ x b - a n

O que eu fiz foi forçar aparecer por fora o termo que multiplica i dentro do argumento da função. Isso significa que:

b - a n = π 2 n

a = π 2

Assim, nossos limites de integração serão a = π 2 e b = π . Com isso, a função na qual analisamos será basicamente o cosseno.

Passo 3

Como isso, o limite do somatório com n → ∞ será:

lim n → ∞ ⁡ 2 π ∑ i = 1 n π 2 n cos ⁡ π 2 + i π 2 n = 2 π ∫ π 2 π cos ⁡ x d x

= 2 π sen ⁡ x [ π π / 2

= 2 π sen ⁡ π - sen ⁡ π 2 = 2 π 0 - 1

= - 2 π

Resposta

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n cos ⁡ π 2 + i π 2 n n = - 2 π

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