Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

Ver Teoria

Enunciado

Construa a soma de Riemann para a função

f x = 1 x ,   1 ≤ x ≤ 3

usando três subintervalos e o extremo esquerdo de cada um destes intervalos como ponto amostral.

Passo 1

Primeiro de tudo nessa questão é a gente calcular o intervalo Δ x = b - a n , onde b e a são os intervalos máximo e mínimo, respectivamente e n é a quantidade de números inteiros que existem dentro desse intervalo.

Temos Δ x = 3 - 1 3 = 2 3

Então a partir de agora a gente pode construir subintervalos, partindo de x = 1 e terminando em x = 3 , sempre fazendo com que cada intervalo tenha uma diferença Δ x .

Logo, os subintervalos são:

1 , 5 3 ,   2 3 , 7 3 e 7 3 , 3

Passo 2

Agora vamos tomar os pontos amostrais com extremos inferiores de cada subintervalo:

x 1 = 1

x 2 = 2 3

x 3 = 7 3

Construindo a soma de Riemann, vamos encontrar agora o que?

S 3 = ∑ k = 1 3 f x k Δ x = f x 1 + f x 2 + f x 3 Δ x

S 3 = f 1 + f 2 3 + f 7 3 2 3

S 3 = 1 + 3 2 + 3 7 2 3

S 3 = 2 3 + 1 + 2 7 = 14 + 6 21 + 1 = 21 + 6 + 14 21

S 3 = 41 21

Resposta

S 3 = 41 21

Exercícios de Livros Relacionados

Se A é a área sob a curva y = e x de 1 a 3 , use o Exercício 25 para encontrar um valor de n tal que R n - A0,0001 .
(a) Estime a área sob o gráfico de f x = cos ⁡ x de x = 0 até x = π 2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é uma subestimativ
Com uma calculadora programável ou computador (veja as instruções para o Exercício 9 da Seção 5.1), calcule as somas de Riemann esquerda e direita para a função f x = sen ⁡ ( x 2 ) no intervalo [ 0,1
Expresse a integral como um limite de somas. Depois, calcule, usando um sistema de computação algébrica para encontrar a soma e o limite.∫ 2 10 x 6 d x
Encontre uma aproximação para a integral ∫ 0 4 x 2 - 3 x d x usando uma soma de Riemann com as extremidades direitas e n = 8 . (b) Faça um diagrama como a Figura 3 para ilustrar a aproximação da parte