Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

Ver Teoria

Enunciado

Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Em cada região marcada, está indicada a medida da área.

  1. Escreva o resultado das integrais ∫ a c f ( x ) d x ,   ∫ a d f ( x ) d x ,   ∫ a e f ( x ) d x em termos das medidas das áreas

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema nos deu o gráfico de uma função f ( x )

x são negativas e acima são positivas

então a ideia aqui é bem tranquila: ir associando cada integral dada com as áreas do gráfico de f ( x ) .

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

As integrais que precisamos calcular são:

∫ a c f ( x ) d x ,   ∫ a d f ( x ) d x ,   ∫ a e f ( x ) d x

vamos começar com a primeira:

∫ a c f ( x ) d x

Então precisamos verificar qual área está compreendida entre o eixo x e a função f ( x ) , entre o intervalo [ a , c ] :

E o resto? O resto não está compreendido nos limites de integração! Então queremos as duas áreas hachuradas A 1 e A 2 !Atenção na A 1 : como ela fica abaixo do eixo x , o valor da integral é - A 1 , assim a integral de a até c é:

∫ a c f ( x ) d x = - A 1 + A 2

Beleza?

Passo 3

Agora vamos ver a região que corresponde a essa integral aqui

∫ a d f x d x

Olhando apenas o intervalo [ a , d ] teremos três regiões a serem consideradas:

Como as áreas A 1 e A 3 estão totalmente abaixo do eixo x , essas duas são negativas. Já a área A 2 está acima do eixo x , é positiva:

∫ a d f ( x ) d x = - A 1 + A 2 - A 3

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora a integral do intervalo [ a , e ] :

∫ a e f ( x ) d x

No nosso gráfico esse intervalo corresponde à soma de todas as regiões hachuradas:

As áreas A 2 e A 4 estão acima do eixo x , então a integral é positiva. Já das outras áreas é negativa. Mas se o limite de integração fosse invertido, o sinal das áreas seria trocado, ok?

Assim essa última área é:

∫ a e f ( x ) d x = - A 1 + A 2 - A 3 + A 4

Beleza? E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ a c f ( x ) d x = - A 1 + A 2

∫ a d f ( x ) d x = - A 1 + A 2 - A 3

∫ a e f ( x ) d x = - A 1 + A 2 - A 3 + A 4

Exercícios de Livros Relacionados

Se A é a área sob a curva y = e x de 1 a 3 , use o Exercício 25 para encontrar um valor de n tal que R n - A0,0001 .
(a) Estime a área sob o gráfico de f x = cos ⁡ x de x = 0 até x = π 2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é uma subestimativ
Com uma calculadora programável ou computador (veja as instruções para o Exercício 9 da Seção 5.1), calcule as somas de Riemann esquerda e direita para a função f x = sen ⁡ ( x 2 ) no intervalo [ 0,1
Expresse a integral como um limite de somas. Depois, calcule, usando um sistema de computação algébrica para encontrar a soma e o limite.∫ 2 10 x 6 d x
Encontre uma aproximação para a integral ∫ 0 4 x 2 - 3 x d x usando uma soma de Riemann com as extremidades direitas e n = 8 . (b) Faça um diagrama como a Figura 3 para ilustrar a aproximação da parte