Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Seja A a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo x, superiormente pela função f ( x )   =   x 2 + 1 , à esquerda pela reta x = 1 e à direita pela reta x = 3 .

(f) Estime o valor de A dividindo o intervalo [1; 3] em quatro partes iguais e usando quatro retângulos acima do gráfico de f. Faça um gráfico representando a situação.

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Ela é uma continuação, então vamos recapitular o que sabemos até aqui: fizemos o esboço da região delimitada pelas curvas

R : f x = x 2 + 1 x = 1 ,   x = 3 y = 0   ( e i x o   x )

A área A é a área correspondente à essa região. E podemos escrever em termos de uma integral:

A = ∫ 1 3 [ x 2 + 1 ] d x  

Agora o problema nos pede para estimar essa mesma região, mas agora utilizando quatro retângulos de bases iguais, dividindo o intervalo [ 1,3 ] em quatro. E mais, pede para calcularmos essa região superestimando a região! Ou seja, acima de f ( x )

Então a ideia aqui é dividir esse intervalo em quatro, achar os retângulos no gráfico da região A e estimar somando as áreas desses quatro retângulos!

Mas relaxa, vamos fazer passo a passo juntos!

Passo 2

Vamos começar dividindo o intervalo em 4 !

O intervalo vai de x = 1 até x = 3 :

Δ x = 3 - 1 4 = 1 2

Então temos que o primeiro intervalo é

x = 1 + Δ x = 1 + 1 2 = 3 2

De x = 1 até x = 3 2 .

O segundo intervalo:

x = 3 2 + Δ x = 3 2 + 1 2 = 2

De x = 3 2 até x = 2 ! Vamos para o terceiro intervalo:

x = 2 + Δ x = 2 + 1 2 = 5 2

Então vai de x = 2 até x = 5 2 . E por fim, o quarto intervalo

x = 5 2 + Δ x = 5 2 + 1 2 = 3

Então vai de x = 5 2 até x = 3 .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos desenhar dois retângulos com alturas acima da função f ( x ) , ou seja, utilizando como altura o final do intervalo, o limite à direita. O primeiro 1 , 3 2 , o segundo 3 2 ,   2 , o terceiro 2 , 5 2 e o último 5 2 ,   3 :

Note que esses com apenas esses quatro retângulos não teremos uma estimativa muito boa para região, mas uma estimativa superestimada

Beleza?

Passo 4

Agora nossa missão é encontrar a área desses dois retângulos aí! A área de um retângulo é b a s e × a l t u r a

Δ x ! E a altura? Vale o valor da função f ( x ) no ponto à direita do intervalo! Isso é estimar a área pela soma de Riemann pela direita!

A área dos quatro retângulos é a soma de A 1 + A 2 + A 3 + A 4 :

Vamos calcular A 1 primeiro (área entre o intervalo 1 , 3 2 ):

A 1 = Δ x . f 3 2

Lembrando que f x = x 2 + 1 , então f 3 2 = 3 2 2 + 1 = 3,25 . Daí a área A 1 é:

A 1 = 1 2 . ( 3,25 ) = 1,625

Beleza? Agora a A 2 (área entre o intervalo 3 2 , 2 ):

A 2 = Δ x . f 2

Mas f 2 = 2 2 + 1 = 5 , aí a área é

A 2 = 1 2 . ( 5 ) = 2,5

Tranquilo até aqui? Agora vamos calcular A 3 (área entre o intervalo 2 , 5 2 ):

A 3 = Δ x .   f 5 2

Mas f 5 2 = 5 2 2 + 1 = 7,25 , aí

A 3 = 1 2 . ( 7,25 ) = 3,625

E por fim A 4 (área entre o intervalo 5 2 , 3 ):

A 4 = Δ x .   f 3

A função f ( x ) em x = 3 vale f 3 = 3 2 + 1 = 10 e a área do último retângulo é

A 4 = Δ x .   f 3 = 1 2 . 10 = 5

Por fim a soma das áreas:

A = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = 1,625 + 2,5 + 3,625 + 5 = 12,75

Beleza? E é isso! Isso é estimar a área pela soma de Riemann pela direita! É uma estimativa ‘por cima’, estamos superestimando o valor dessa região

Tranquilo?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

A = 12,75

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