Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Seja A a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo x, superiormente pela função f ( x )   =   x 2 + 1 , à esquerda pela reta x = 1 e à direita pela reta x = 3 .

(a) Faça um gráfico representando a situação.

(b) Como A é descrita em termos de integral?

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá? Vamos começar fazendo um esboço dessa função. A nossa f ( x ) :

f x = x 2 + 1

É uma parábola com boca para cima e que corta o eixo y (quando x = 0 ) no 1 . Ela também é limitada pelas curvas (retas verticais) x = 1 (eq1) e pela x = 3 (eq2):

x :

x = 1 (em azul), pela direita pela x = 3 (em vermelho). Por cima essa região é delimitada pela função f x = x 2 + 1 (em verde) e por baixo pelo eixo x

temos assim o esboço da região!

Agora nos resta descrever essa região em termos de uma integral!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Vamos lá?

Passo 2

Recapitulando: nossa região R:

Para representar uma região em termos de integrais precisamos primeiro identificar qual função está ‘por cima’ e qual está ‘por baixo’ em um mesmo intervalo, e isso nós já fizemos!

Digamos que a função por cima seja f ( x ) e a por baixo seja g ( x ) em um intervalo fechado [ a , b ] , então a representação dessa região A é

A = ∫ a b f x - g x d x  

Beleza?

f x = x 2 + 1 e g x = 0 (eixo x ). E os limites a e b ? São as delimitações laterais feitas pelas retas x = 1 e x = 3 !

R de área A em termos de integral fica assim:

A = ∫ 1 3 [ x 2 + 1 ] d x = x 3 3 + x 1 3 = 3 3 3 + 3 - 1 3 3 + 1 = 9 + 3 - 4 3 = 10,66

A partir de agora, o problema nos pede para estimar essa área de quatro formas: dividindo o intervalo em dois e estimando pela direita e pela esquerda. E depois dividindo o intervalo em quatro: também pela direita e pela esquerda. Vamos obter resultados menores (os pela esquerda) e maiores (pela direita) que a área exata A .

Quanto maior for o número de divisões do intervalo, mais preciso será. Como a integral divide em infinitos pedaços, encontramos o valor exato da área

Beleza?

Mas calma, vou fazer com você os próximos itens!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

A = ∫ 1 3 [ x 2 + 1 ] d x = 10,66  

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